Calcule os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações dadas:
- O numerador é a expressão
. - O denominador é a expressão
. - A variável tende para
.
Nada mais será resolvido neste passo; só identifiquei o que é pedido e as expressões envolvidas.
Passo 2
Primeiro passo de resolução: testar a substituição direta para identificar o tipo de limite. Substituindo
nas expressões (isso é apenas para diagnóstico),
Portanto ao substituir obtemos a forma indeterminada
. Explicando isso de forma didática: quando a substituição direta dá
, não podemos concluir o valor do limite só por essa substituição — existe uma “indeterminação” que pede manipulação algébrica (ou outro método) para simplificar a expressão e então avaliar o limite.
Passo 3
Método escolhido: fatoração e simplificação (é o mais direto e básico aqui). Vou ensinar como fatorar cada polinômio.
Como fatorar o numerador
: procuramos dois números que multiplicados dão
(termo constante) e somados dão
(coeficiente de
). Esses números são
e
. Logo
Como fatorar o denominador
: reconhecemos uma diferença de quadrados; lembrando a identidade
com
e
, temos
Passo 4
Agora reescrevemos a razão usando as fatorações obtidas:
Para todo
podemos cancelar o fator comum
, obtendo a função equivalente em torno de
(exceto no próprio ponto
):
Explicação importante: isso é permitido porque o limite só depende dos valores da função para
próximos de
, não do valor exatamente em
. Como para
próximos de
(mas diferentes de
) a expressão é igual a
, o limite original é o mesmo que o limite dessa função simplificada.
Passo 5
Agora que a expressão foi simplificada, aplicamos substituição direta no limite (já não haverá indeterminação):
Comentário didático extra: esse tipo de situação chama-se “discontinuidade removível” em
— a expressão original não está definida em
(dá
), mas ao simplificar vemos que a função pode ser estendida em
atribuindo o valor
.
Passo 6
(Observação alternativa, opcional) Poderíamos também usar a regra de L’Hôpital porque temos a forma
: derivando numerador e denominador obtemos
e então
confirmando o mesmo resultado. Eu escolhi a fatoração porque é mais simples e exige só álgebra básica, suficiente para uma prova sem calculadora.