Calcule os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-5 x+6}{x^{2}-9}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-9}.
Informações dadas:
  • O numerador é a expressão \,x^{2}-5x+6.
  • O denominador é a expressão \,x^{2}-9.
  • A variável tende para x=3.
    Nada mais será resolvido neste passo; só identifiquei o que é pedido e as expressões envolvidas.

Passo 2

Primeiro passo de resolução: testar a substituição direta para identificar o tipo de limite. Substituindo x=3 nas expressões (isso é apenas para diagnóstico),
\text{numerador} = 3^{2}-5\cdot 3+6 = 9-15+6 = 0,
\text{denominador} = 3^{2}-9 = 9-9 = 0.
Portanto ao substituir obtemos a forma indeterminada 0/0. Explicando isso de forma didática: quando a substituição direta dá 0/0, não podemos concluir o valor do limite só por essa substituição — existe uma “indeterminação” que pede manipulação algébrica (ou outro método) para simplificar a expressão e então avaliar o limite.

Passo 3

Método escolhido: fatoração e simplificação (é o mais direto e básico aqui). Vou ensinar como fatorar cada polinômio.
Como fatorar o numerador \,x^{2}-5x+6: procuramos dois números que multiplicados dão 6 (termo constante) e somados dão -5 (coeficiente de x). Esses números são -2 e -3. Logo
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3).
Como fatorar o denominador \,x^{2}-9: reconhecemos uma diferença de quadrados; lembrando a identidade
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
com a=x e b=3, temos
x^{2}-9=(x-3)(x+3).

Passo 4

Agora reescrevemos a razão usando as fatorações obtidas:
\frac{x^{2}-5x+6}{x^{2}-9}=\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)}.
Para todo x\neq 3 podemos cancelar o fator comum (x-3), obtendo a função equivalente em torno de x=3 (exceto no próprio ponto x=3):
\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{x-2}{x+3},\qquad (x\neq 3).
Explicação importante: isso é permitido porque o limite só depende dos valores da função para x próximos de 3, não do valor exatamente em 3. Como para x próximos de 3 (mas diferentes de 3) a expressão é igual a \frac{x-2}{x+3}, o limite original é o mesmo que o limite dessa função simplificada.

Passo 5

Agora que a expressão foi simplificada, aplicamos substituição direta no limite (já não haverá indeterminação):
\lim_{x\to 3}\frac{x-2}{x+3} = \frac{3-2}{3+3} = \frac{1}{6}.
Comentário didático extra: esse tipo de situação chama-se “discontinuidade removível” em x=3 — a expressão original não está definida em x=3 (dá 0/0), mas ao simplificar vemos que a função pode ser estendida em x=3 atribuindo o valor \frac{1}{6}.

Passo 6

(Observação alternativa, opcional) Poderíamos também usar a regra de L’Hôpital porque temos a forma 0/0: derivando numerador e denominador obtemos
\frac{d}{dx}(x^{2}-5x+6)=2x-5,\qquad \frac{d}{dx}(x^{2}-9)=2x,
e então
\lim_{x\to 3}\frac{2x-5}{2x}=\frac{2\cdot 3-5}{2\cdot 3}=\frac{1}{6},
confirmando o mesmo resultado. Eu escolhi a fatoração porque é mais simples e exige só álgebra básica, suficiente para uma prova sem calculadora.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

Exercícios relacionados