- Para cada afirmação, diga se é verdadeira ou falsa e justifique:
(a) A função
é descontínua em
(b) Se
existe, então
é contínua em
(c) Se
não é contínua em
, então
não existe
(a) A função
(b) Se
(c) Se
Passo 1
O enunciado pede que, para cada afirmação abaixo, eu diga se é verdadeira ou falsa e justifique:
(a) A função é descontínua em
.
(b) Se existe, então
é contínua em
.
(c) Se não é contínua em
, então
não existe.
Informações dadas explicitamente: a definição da função em (a), e as três afirmações que precisam ser decididas com justificativa.
(a) A função
(b) Se
(c) Se
Informações dadas explicitamente: a definição da função em (a), e as três afirmações que precisam ser decididas com justificativa.
Passo 2
Vamos lembrar a definição precisa de continuidade num ponto (isso é fundamental para responder corretamente).
Definição: dizemos que uma função é contínua em
se e somente se as três condições abaixo forem satisfeitas simultaneamente:
Definição: dizemos que uma função
-
pertence ao domínio de (ou seja, existe). -
existe (limite finito). -
.
Explicando em palavras simples: para ser contínua em
é preciso que a função esteja definida em
, que os valores de
quando
se aproxima de
tenham um único valor limite, e que esse limite seja exatamente o valor que a função assume em
. Se qualquer uma dessas três falhar, a função não é contínua em
.
Passo 3
Análise da afirmação (a): “A função
é descontínua em
.”
Primeiro identifiquemos o domínio de . O denominador não pode ser zero, então
Primeiro identifiquemos o domínio de
Logo
não pertence ao domínio de
, isto é,
não existe. Pela condição (1) da definição de continuidade, já falhamos na exigência de que
esteja definida em
. Portanto
não pode ser contínua em
.
Além disso (e isso reforça a intuição), os limites laterais ao aproximar
divergem:
portanto nem sequer existe um limite finito
. Conclusão: é correto afirmar que
é descontínua em
.
Passo 4
Resposta e justificativa formal para (a): a afirmação é verdadeira. Justificativa curta:
e ainda
não existe (limites laterais divergem), logo
não é contínua em
.
Passo 5
Análise da afirmação (b): “Se [\lim_{x\to a} f(x)) existe, então
é contínua em
.”
Pela definição de continuidade vista no Passo 2, para garantir continuidade em precisamos de três coisas:
no domínio, existência do limite e igualdade do limite com
. A hipótese dessa afirmação dá apenas a existência do limite; não garante que
exista nem que seja igual a esse limite. Portanto a afirmação é, em princípio, suspeita (provavelmente falsa). Vamos construir um contraexemplo simples e clássico.
Pela definição de continuidade vista no Passo 2, para garantir continuidade em
Considere a função
definida por
Para
, então
Logo o limite existe (é
). Porém
, diferente do limite, portanto
NÃO é contínua em
. Assim a existência do limite por si só não garante continuidade.]
Passo 6
Resposta e justificativa formal para (b): a afirmação é falsa. Contraexemplo: a função
do Passo 5 tem
existente, mas
, logo
não é contínua em
. Observação didática: para garantir continuidade é necessário e suficiente que
e
.
Passo 7
Análise da afirmação (c): “Se
não é contínua em
, então
não existe.”
Isto afirma que toda falha de continuidade se dá porque a função não foi definida em . Mas existem várias maneiras de uma função ser não contínua em
:
Isto afirma que toda falha de continuidade se dá porque a função não foi definida em
-
não existe (função não definida em ); - ou
não existe (por exemplo, limites laterais diferentes ou divergem); - ou o limite existe mas
(valor no ponto diferente do limite) — isso é uma descontinuidade removível.
Portanto a afirmação (c) é falsa: é possível ter
existindo e ainda assim
não ser contínua em
. Um contraexemplo é novamente a função
do Passo 5:
existe, porém
não é contínua em
porque o limite é
.
Passo 8
Resposta e justificativa formal para (c): a afirmação é falsa. Contraexemplo: a função
tem
(existe) mas não é contínua em
porque
. Comentário final encorajador: quando estiver resolvendo questões sobre continuidade, sempre verifique as três condições da definição — isso evita confusões.]
Resposta
(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa
(b) Falsa
(c) Falsa