1. Para cada afirmação, diga se é verdadeira ou falsa e justifique:
    (a) A função f(x)=\frac{1}{x} é descontínua em x=0
    (b) Se \lim _{x \rightarrow a} f(x) existe, então f é contínua em x=a
    (c) Se f não é contínua em x=a, então f(a) não existe

Passo 1

O enunciado pede que, para cada afirmação abaixo, eu diga se é verdadeira ou falsa e justifique:
(a) A função f(x)=\dfrac{1}{x} é descontínua em x=0.
(b) Se \lim_{x\to a} f(x) existe, então f é contínua em x=a.
(c) Se f não é contínua em x=a, então f(a) não existe.
Informações dadas explicitamente: a definição da função em (a), e as três afirmações que precisam ser decididas com justificativa.

Passo 2

Vamos lembrar a definição precisa de continuidade num ponto (isso é fundamental para responder corretamente).
Definição: dizemos que uma função f é contínua em x=a se e somente se as três condições abaixo forem satisfeitas simultaneamente:
  1. a pertence ao domínio de f (ou seja, f(a) existe).
  2. \lim_{x\to a} f(x) existe (limite finito).
  3. \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Explicando em palavras simples: para ser contínua em a é preciso que a função esteja definida em a, que os valores de f(x) quando x se aproxima de a tenham um único valor limite, e que esse limite seja exatamente o valor que a função assume em a. Se qualquer uma dessas três falhar, a função não é contínua em a.

Passo 3

Análise da afirmação (a): “A função f(x)=\dfrac{1}{x} é descontínua em x=0.”
Primeiro identifiquemos o domínio de f. O denominador não pode ser zero, então
\mathrm{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
Logo 0 não pertence ao domínio de f, isto é, f(0) não existe. Pela condição (1) da definição de continuidade, já falhamos na exigência de que f esteja definida em 0. Portanto f não pode ser contínua em 0.
Além disso (e isso reforça a intuição), os limites laterais ao aproximar 0 divergem:
\lim_{x\to0^+}\frac{1}{x}=+\infty, \qquad \lim_{x\to0^-}\frac{1}{x}=-\infty,
portanto nem sequer existe um limite finito \lim_{x\to0}\dfrac{1}{x}. Conclusão: é correto afirmar que f é descontínua em x=0.

Passo 4

Resposta e justificativa formal para (a): a afirmação é verdadeira. Justificativa curta: 0\notin\mathrm{dom}(f) e ainda \lim_{x\to0}\dfrac{1}{x} não existe (limites laterais divergem), logo f não é contínua em 0.

Passo 5

Análise da afirmação (b): “Se [\lim_{x\to a} f(x)) existe, então f é contínua em x=a.”
Pela definição de continuidade vista no Passo 2, para garantir continuidade em a precisamos de três coisas: a no domínio, existência do limite e igualdade do limite com f(a). A hipótese dessa afirmação dá apenas a existência do limite; não garante que f(a) exista nem que seja igual a esse limite. Portanto a afirmação é, em princípio, suspeita (provavelmente falsa). Vamos construir um contraexemplo simples e clássico.
Considere a função g definida por
g(x)=\begin{cases} 0, & x\neq 0,\\[4pt] 1, & x=0. \end{cases}
Para x\neq 0\] temos \(g(x)=0, então
\lim_{x\to 0} g(x)=0.
Logo o limite existe (é 0). Porém g(0)=1, diferente do limite, portanto g NÃO é contínua em 0. Assim a existência do limite por si só não garante continuidade.]

Passo 6

Resposta e justificativa formal para (b): a afirmação é falsa. Contraexemplo: a função g do Passo 5 tem \lim_{x\to0}g(x)=0 existente, mas g(0)=1\neq0, logo g não é contínua em 0. Observação didática: para garantir continuidade é necessário e suficiente que a\in\mathrm{dom}(f) e \lim_{x\to a}f(x)=f(a).

Passo 7

Análise da afirmação (c): “Se f não é contínua em x=a, então f(a) não existe.”
Isto afirma que toda falha de continuidade se dá porque a função não foi definida em a. Mas existem várias maneiras de uma função ser não contínua em a:
  • f(a) não existe (função não definida em a);
  • ou \lim_{x\to a}f(x) não existe (por exemplo, limites laterais diferentes ou divergem);
  • ou o limite existe mas \lim_{x\to a}f(x)\neq f(a) (valor no ponto diferente do limite) — isso é uma descontinuidade removível.
Portanto a afirmação (c) é falsa: é possível ter f(a) existindo e ainda assim f não ser contínua em a. Um contraexemplo é novamente a função g do Passo 5: g(0)=1 existe, porém g não é contínua em 0 porque o limite é 0\neq g(0).

Passo 8

Resposta e justificativa formal para (c): a afirmação é falsa. Contraexemplo: a função
g(x)=\begin{cases} 0, & x\neq 0,\\[4pt] 1, & x=0 \end{cases}
tem g(0)=1 (existe) mas não é contínua em 0 porque \lim_{x\to0}g(x)=0\neq g(0). Comentário final encorajador: quando estiver resolvendo questões sobre continuidade, sempre verifique as três condições da definição — isso evita confusões.]

Resposta

(a) Verdadeira
(b) Falsa
(c) Falsa

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