A função característica de um conjunto
Prove que
;
Passo 1
O enunciado nos dá a definição da função característica de um conjunto
Queremos mostrar que a função característica do complemento de
.
Passo 2
Seja
um elemento qualquer. Primeiro, suponha que
. Então, pela definição,
Como
implica
, temos
Logo,
Passo 3
Agora suponha que
. Então
e, como
implica
,
Portanto,
Passo 4
Em ambos os casos —
ou
— mostramos que
e
coincidem. Como
foi arbitrário, concluímos que a igualdade vale para todo
.