A função característica de um conjunto A\) é definida por \(\chi_{A}(x)= \begin{cases}1, & \text { se } x \in A, \\\\ 0, & \text { se } x \notin A .\end{cases}
Prove que
\chi_{A^{C}}=1-\chi_{A};

Passo 1

O enunciado nos dá a definição da função característica de um conjunto A\), que para todo \(x\) vale \[\chi_A(x)= \begin{cases} 1,&\text{se }x\in A,\\\\ 0,&\text{se }x\notin A. \end{cases}
Queremos mostrar que a função característica do complemento de A\] satisfaz \[\chi_{A^C}(x)=1-\chi_A(x)\] para todo \(x.

Passo 2

Seja x um elemento qualquer. Primeiro, suponha que x\in A. Então, pela definição,
\chi_A(x)=1.
Como x\in A implica x\notin A^C, temos
\chi_{A^C}(x)=0.
Logo,
1-\chi_A(x)=1-1=0=\chi_{A^C}(x).

Passo 3

Agora suponha que x\notin A. Então
\chi_A(x)=0
e, como x\notin A implica x\in A^C,
\chi_{A^C}(x)=1.
Portanto,
1-\chi_A(x)=1-0=1=\chi_{A^C}(x).

Passo 4

Em ambos os casos — x\in A ou x\notin A — mostramos que \chi_{A^C}(x) e 1-\chi_A(x) coincidem. Como x foi arbitrário, concluímos que a igualdade vale para todo x.

Resposta

\displaystyle \chi_{A^C}(x)=1-\chi_A(x) para todo x.

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