A função característica de um conjunto A\) é definida por \(\chi_{A}(x)= \begin{cases}1, & \text { se } x \in A, \\\\ 0, & \text { se } x \notin A .\end{cases}
Prove que A \subseteq B se, e somente se, \chi_{A} \leq \chi_{B};
Passo 1
O enunciado define, para um conjunto A\subseteq X, a função característica
\chi_{A}(x)= \begin{cases} 1,&\text{se }x\in A,\\\\ 0,&\text{se }x\notin A. \end{cases}
Queremos mostrar que
A\subseteq B \quad\Longleftrightarrow\quad \chi_{A}(x)\le \chi_{B}(x)\text{ para todo }x\in X,
ou seja, a inclusão de conjuntos corresponde à desigualdade ponto a ponto das suas funções características.
Passo 2
Prova de A\subseteq B \implies \chi_{A}\le\chi_{B}.
Suponha A\subseteq B. Seja x\in X arbitrário. Temos dois casos:
Se x\in A, então também x\in B, logo \chi_{A}(x)=1 e \chi_{B}(x)=1. Daí
\chi_{A}(x)=1\le1=\chi_{B}(x).
Se x\notin A, então \chi_{A}(x)=0. Como \chi_{B}(x) vale 0 ou 1, segue
\chi_{A}(x)=0\le\chi_{B}(x).
Em ambos os casos \chi_{A}(x)\le\chi_{B}(x). Como x era genérico, concluímos \chi_{A}\le\chi_{B}.
Passo 3
Prova de \chi_{A}\le\chi_{B} \implies A\subseteq B.
Suponha que para todo x\in X valha
\chi_{A}(x)\le\chi_{B}(x).
Seja agora x\in A. Então \chi_{A}(x)=1, e da desigualdade segue
1=\chi_{A}(x)\le\chi_{B}(x).
Mas \chi_{B}(x) só pode ser 0 ou 1. Logo \chi_{B}(x)=1, o que implica x\in B. Concluímos que todo x\in A pertence a B, ou seja, A\subseteq B.
Resposta
Mostramos que A\subseteq B se, e somente se, \chi_{A}(x)\le\chi_{B}(x) para todo x\in X.