Seja f: X \rightarrow Y uma função. Prove que:
(a) f(A-B) \supset f(A)-f(B), para quaisquer subconjuntos A e B de X.
(b) Se f é injetora, então f(A-B)=f(A)-f(B), para quaisquer subconjuntos A e B de X.
(c) f é injetora se, e somente se, f(X-A)=f(X)-f(A), para qualquer subconjunto A de X.
(d) f é injetora se, e somente se, f(A \cap B)=f(A) \cap f(B) para quaisquer subconjuntos A e B de X.

Passo 1

O enunciado trata de imagens de conjuntos por uma função f\colon X\to Y e pede para provar relações entre f(A-B), f(A), f(B), complemento e interseção, bem como a equivalência dessas igualdades com a injetividade de f. Vamos usar a definição de imagem de conjunto
f\text{(C)}=\{\,y\in Y\mid \exists x\in C\text{ com }f(x)=y\}
e a definição de função injetora (se f(x_1)=f(x_2) então x_1=x_2).

Passo 2

Provar (a): f(A-B)\supset f(A)-f(B).
Seja y\in f(A)-f(B). Então y\in f(A) e y\notin f(B). Logo existe x\in A tal que f(x)=y, mas não há x'\in B com f(x')=y. Isso implica x\notin B, isto é, x\in A-B. Portanto y=f(x)\in f(A-B). Concluímos
f(A-B)\;\supset\;f(A)-f(B).

Passo 3

Provar (b): se f é injetora então f(A-B)=f(A)-f(B).
Já vimos em (a) que sempre vale f(A-B)\supset f(A)-f(B). Para a inclusão inversa, seja y\in f(A-B). Então existe x\in A-B com f(x)=y. Então x\in A e x\notin B, logo y\in f(A) e y\notin f(B). Assim y\in f(A)-f(B). Dessa forma
f(A-B)=f(A)-f(B).

Passo 4

Provar parte “se” de (c): se f é injetora então, para todo A\subset X,
f(X-A)=f(X)-f(A).
Basta aplicar o item (b) com X no lugar de A. Como f é injetora,
f(X-A)=f(X)-f(A).

Passo 5

Provar parte “somente se” de (c): se para todo A\subset X vale f(X-A)=f(X)-f(A) então f é injetora.
Tomemos x_1,x_2\in X tais que f(x_1)=f(x_2). Queremos x_1=x_2. Definamos A=\{x_1\}. Pela hipótese,
f(X-\{x_1\})=f(X)-f(\{x_1\}).
Note que f(\{x_1\})=\{f(x_1)\}. Se x_2\neq x_1 então x_2\in X-\{x_1\}, o que implicaria
f(x_2)\in f(X-\{x_1\})=f(X)-\{f(x_1)\},
ou seja, f(x_2)\neq f(x_1), contradição. Logo x_2=x_1 e f é injetora.

Passo 6

Provar parte “se” de (d): se f é injetora então, para quaisquer A,B\subset X,
f(A\cap B)=f(A)\cap f(B).
Primeiro, para todo f vale sempre
f(A\cap B)\;\subset\;f(A)\cap f(B),
pois se y=f(x) com x\in A\cap B então y\in f(A) e y\in f(B). Para a inclusão inversa, seja y\in f(A)\cap f(B). Então existem x_1\in A e x_2\in B com f(x_1)=y=f(x_2). Como f é injetora, x_1=x_2\in A\cap B, logo y=f(x_1)\in f(A\cap B). Assim vale a igualdade.

Passo 7

Provar parte “somente se” de (d): se para todos A,B\subset X temos f(A\cap B)=f(A)\cap f(B) então f é injetora.
Tomemos x_1,x_2\in X com x_1\neq x_2 e considere A=\{x_1\}, B=\{x_2\}. Então A\cap B=\emptyset, logo
f(A\cap B)=f(\emptyset)=\emptyset.
Pelo enunciado, isso implica
\emptyset = f(A)\cap f(B)=\{f(x_1)\}\cap\{f(x_2)\}.
Logo f(x_1)\neq f(x_2). Assim f é injetora.

Resposta

As propriedades (a), (b), (c) e (d) foram demonstradas conforme pedido.

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