Seja
uma função. Prove que:
(a)
, para quaisquer subconjuntos
e
de
.
(b) Se
é injetora, então
, para quaisquer subconjuntos
e
de
.
(c)
é injetora se, e somente se,
, para qualquer subconjunto
de
.
(d)
é injetora se, e somente se,
para quaisquer subconjuntos
e
de
.
(a)
(b) Se
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado trata de imagens de conjuntos por uma função
e pede para provar relações entre
,
,
, complemento e interseção, bem como a equivalência dessas igualdades com a injetividade de
. Vamos usar a definição de imagem de conjunto
e a definição de função injetora (se
então
).
Passo 2
Provar (a):
.
Seja . Então
e
. Logo existe
tal que
, mas não há
com
. Isso implica
, isto é,
. Portanto
. Concluímos
Seja
Passo 3
Provar (b): se
é injetora então
.
Já vimos em (a) que sempre vale . Para a inclusão inversa, seja
. Então existe
com
. Então
e
, logo
e
. Assim
. Dessa forma
Já vimos em (a) que sempre vale
Passo 4
Provar parte “se” de (c): se
é injetora então, para todo
,
Basta aplicar o item (b) com
no lugar de
. Como
é injetora,
Passo 5
Provar parte “somente se” de (c): se para todo
vale
então
é injetora.
Tomemos tais que
. Queremos
. Definamos
. Pela hipótese,
Tomemos
Note que
. Se
então
, o que implicaria
ou seja,
, contradição. Logo
e
é injetora.
Passo 6
Provar parte “se” de (d): se
é injetora então, para quaisquer
,
Primeiro, para todo
vale sempre
pois se
com
então
e
. Para a inclusão inversa, seja
. Então existem
e
com
. Como
é injetora,
, logo
. Assim vale a igualdade.
Passo 7
Provar parte “somente se” de (d): se para todos
temos
então
é injetora.
Tomemos com
e considere
,
. Então
, logo
Tomemos
Pelo enunciado, isso implica
Logo
. Assim
é injetora.
Resposta
As propriedades (a), (b), (c) e (d) foram demonstradas conforme pedido.