A função de probabilidade conjunta entre as variáveis aleatórias
e
é apresentada a seguir:
-2
0
2
4
-1
0.1
0.2
0.1
0.2
1
0.2
0
0.1
0.1
|
|
-2 | 0 | 2 | 4 |
| -1 | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.2 |
| 1 | 0.2 | 0 | 0.1 | 0.1 |
Passo 1
O enunciado nos dá a função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas
e
através da tabela abaixo (copiei os números da tabela do enunciado):
O que vou calcular e explicar passo a passo (coisas que normalmente o enunciado pede quando dá uma tabela de probabilidade conjunta):
- As distribuições marginais de
e de . - Distribuições condicionais (ex.:
). - Teste de independência entre
e . - Esperanças
e . -
e a covariância . - Variâncias
e e o coeficiente de correlação . - Exemplos de probabilidades condicionais úteis (ex.:
, ).
Agora vou resolver cada item com calma e passo a passo, explicando as fórmulas e o raciocínio.
Passo 2
Marginais: definição e cálculo.
Definição: a distribuição marginal de
é obtida somando a probabilidade conjunta sobre todos os valores de
:
De maneira análoga,
Calculemos
:
- Para
:
- Para
:
Verificação rápida:
— bom, soma 1.
Calculemos
:
- Para
:
(peguei os dois termos da coluna
na tabela)
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Verificação:
. Tudo consistente.
Passo 3
Distribuições condicionais: definição e exemplo.
Definição: a probabilidade condicionada de
dado
é
desde que
. Vou calcular
e
.
Primeiro
(lembre:
):
Verificação:
.
Agora
(lembre:
):
Verificação:
.
Comentário pedagógico: a distribuição condicionada mostra como o comportamento de
muda quando sabemos o valor de
. Nos cálculos acima eu simplesmente dividi cada entrada da linha correspondente por
.
Passo 4
Teste de independência: definição e verificação prática.
Definição:
e
são independentes se, para todo
,
Basta encontrar um contraexemplo (um par
em que a igualdade não vale) para concluir que não são independentes.
Escolho
. Da tabela
.
Calcule
.
Como
, temos um contraexemplo — logo
e
não são independentes.
Explicação simples: se fossem independentes, saber
não mudaria as probabilidades de
; mas vemos em Passo 3 que as condicionais mudam, por isso há dependência.
Passo 5
Cálculo das esperanças
e
.
Definição: para variável discreta
,
Calcule
:
Definição semelhante para
:
Calcule
:
Faço por partes:
,
,
. Somando:
Interpretação rápida: em média
é ligeiramente negativo (
) e
tem média
.
Passo 6
Cálculo de
e da covariância
.
Definição:
Faço
somando sobre a tabela (vou calcular linha por linha, peguei os números da tabela):
Para
:
Soma da linha:
Para
:
Soma da linha:
Somando as duas linhas:
Agora a covariância:
Interpretação: a covariância negativa indica que, em média, quando
aumenta
tende a diminuir um pouco (não é forte, veremos o coeficiente de correlação).
Passo 7
Cálculo das variâncias
e
.
Fórmula:
, onde
.
Calcule
:
Logo
Calcule
:
Valores:
,
,
. Somando:
Então
Desvio-padrão (útil para correlação):
Passo 8
Coeficiente de correlação (definição, cálculo e interpretação).
Definição:
Substituindo os valores:
Interpretação: correlação negativa fraca (valor perto de
). Confirma a ideia da covariância negativa, mas mostra que a relação linear não é forte.
Passo 9
Algumas probabilidades condicionais úteis (exemplos de aplicação para prova).
-
. Pelo que já calculei para , os valores são e . Então
-
. Aqui uso a definição de probabilidade condicional invertendo:
Comentário motivador: em prova, muitas vezes pedem exatamente esse tipo de cálculo – pegue a entrada da tabela e divida pela marginal da linha/coluna apropriada.