A função de probabilidade conjunta entre as variáveis aleatórias X e Y é apresentada a seguir:
X \backslash Y -2 0 2 4
-1 0.1 0.2 0.1 0.2
1 0.2 0 0.1 0.1

Passo 1

O enunciado nos dá a função de probabilidade conjunta de duas variáveis aleatórias discretas X e Y através da tabela abaixo (copiei os números da tabela do enunciado):
\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X \backslash Y & -2 & 0 & 2 & 4 \\\ \hline -1 & 0{,}1 & 0{,}2 & 0{,}1 & 0{,}2 \\\ \hline 1 & 0{,}2 & 0 & 0{,}1 & 0{,}1 \\\ \hline \end{array}
O que vou calcular e explicar passo a passo (coisas que normalmente o enunciado pede quando dá uma tabela de probabilidade conjunta):
  • As distribuições marginais de X e de Y.
  • Distribuições condicionais (ex.: P_{Y\mid X=1}).
  • Teste de independência entre X e Y.
  • Esperanças \mathbb{E}[X] e \mathbb{E}[Y].
  • \mathbb{E}[XY] e a covariância \mathrm{Cov}(X,Y).
  • Variâncias \mathrm{Var}(X) e \mathrm{Var}(Y) e o coeficiente de correlação \rho_{X,Y}.
  • Exemplos de probabilidades condicionais úteis (ex.: P(Y>0\mid X=-1), P(X=1\mid Y=4)).
Agora vou resolver cada item com calma e passo a passo, explicando as fórmulas e o raciocínio.

Passo 2

Marginais: definição e cálculo.
Definição: a distribuição marginal de X é obtida somando a probabilidade conjunta sobre todos os valores de Y:
P_X(x)=\sum_{y} P_{X,Y}(x,y).
De maneira análoga,
P_Y(y)=\sum_{x} P_{X,Y}(x,y).
Calculemos P_X:
  • Para x=-1:
P_X(-1)=0{,}1+0{,}2+0{,}1+0{,}2=0{,}6.
  • Para x=1:
P_X(1)=0{,}2+0+0{,}1+0{,}1=0{,}4.
Verificação rápida: 0{,}6+0{,}4=1 — bom, soma 1.
Calculemos P_Y:
  • Para y=-2:
P_Y(-2)=0{,}1+0{,}2=0{,}3.
(peguei os dois termos da coluna y=-2 na tabela)
  • Para y=0:
P_Y(0)=0{,}2+0=0{,}2.
  • Para y=2:
P_Y(2)=0{,}1+0{,}1=0{,}2.
  • Para y=4:
P_Y(4)=0{,}2+0{,}1=0{,}3.
Verificação: 0{,}3+0{,}2+0{,}2+0{,}3=1. Tudo consistente.

Passo 3

Distribuições condicionais: definição e exemplo.
Definição: a probabilidade condicionada de Y=y dado X=x é
P_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{P_{X,Y}(x,y)}{P_X(x)},
desde que P_X(x)>0. Vou calcular P_{Y\mid X=1} e P_{Y\mid X=-1}.
Primeiro X=1 (lembre: P_X(1)=0{,}4):
  • P(Y=-2\mid X=1)=\dfrac{0{,}2}{0{,}4}=0{,}5.
  • P(Y=0\mid X=1)=\dfrac{0}{0{,}4}=0.
  • P(Y=2\mid X=1)=\dfrac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25.
  • P(Y=4\mid X=1)=\dfrac{0{,}1}{0{,}4}=0{,}25.
Verificação: 0{,}5+0+0{,}25+0{,}25=1.
Agora X=-1 (lembre: P_X(-1)=0{,}6):
  • P(Y=-2\mid X=-1)=\dfrac{0{,}1}{0{,}6}=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}1667.
  • P(Y=0\mid X=-1)=\dfrac{0{,}2}{0{,}6}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}3333.
  • P(Y=2\mid X=-1)=\dfrac{0{,}1}{0{,}6}=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}1667.
  • P(Y=4\mid X=-1)=\dfrac{0{,}2}{0{,}6}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}3333.
Verificação: 1/6+1/3+1/6+1/3=1.
Comentário pedagógico: a distribuição condicionada mostra como o comportamento de Y muda quando sabemos o valor de X. Nos cálculos acima eu simplesmente dividi cada entrada da linha correspondente por P_X(x).

Passo 4

Teste de independência: definição e verificação prática.
Definição: X e Y são independentes se, para todo x,y,
P_{X,Y}(x,y)=P_X(x)\,P_Y(y).
Basta encontrar um contraexemplo (um par (x,y) em que a igualdade não vale) para concluir que não são independentes.
Escolho (x,y)=(1,-2). Da tabela P_{X,Y}(1,-2)=0{,}2.
Calcule P_X(1)P_Y(-2)=0{,}4\cdot 0{,}3=0{,}12.
Como 0{,}2 \neq 0{,}12, temos um contraexemplo — logo X e Y não são independentes.
Explicação simples: se fossem independentes, saber X não mudaria as probabilidades de Y; mas vemos em Passo 3 que as condicionais mudam, por isso há dependência.

Passo 5

Cálculo das esperanças \mathbb{E}[X] e \mathbb{E}[Y].
Definição: para variável discreta X,
\mathbb{E}[X]=\sum_x x\,P_X(x).
Calcule \mathbb{E}[X]:
\mathbb{E}[X]=(-1)\cdot 0{,}6 + (1)\cdot 0{,}4 = -0{,}6 + 0{,}4 = -0{,}2.
Definição semelhante para Y:
\mathbb{E}[Y]=\sum_y y\,P_Y(y).
Calcule \mathbb{E}[Y]:
\mathbb{E}[Y]=(-2)\cdot 0{,}3 + 0\cdot 0{,}2 + 2\cdot 0{,}2 + 4\cdot 0{,}3.
Faço por partes: (-2)\cdot 0{,}3=-0{,}6, 2\cdot 0{,}2=0{,}4, 4\cdot 0{,}3=1{,}2. Somando:
\mathbb{E}[Y]=-0{,}6+0+0{,}4+1{,}2=1{,}0.
Interpretação rápida: em média X é ligeiramente negativo ( -0{,}2) e Y tem média 1.

Passo 6

Cálculo de \mathbb{E}[XY] e da covariância \mathrm{Cov}(X,Y).
Definição:
\mathbb{E}[XY]=\sum_{x}\sum_{y} x y\,P_{X,Y}(x,y).
\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y].
Faço \mathbb{E}[XY] somando sobre a tabela (vou calcular linha por linha, peguei os números da tabela):
Para X=-1:
(-1)(-2)\cdot 0{,}1 = 0{,}2,\quad (-1)(0)\cdot 0{,}2 = 0,\quad (-1)(2)\cdot 0{,}1 = -0{,}2,\quad (-1)(4)\cdot 0{,}2 = -0{,}8.
Soma da linha: 0{,}2-0{,}2-0{,}8=-0{,}8.
Para X=1:
(1)(-2)\cdot 0{,}2 = -0{,}4,\quad (1)(0)\cdot 0 = 0,\quad (1)(2)\cdot 0{,}1 = 0{,}2,\quad (1)(4)\cdot 0{,}1 = 0{,}4.
Soma da linha: -0{,}4+0{,}2+0{,}4=0{,}2.
Somando as duas linhas:
\mathbb{E}[XY]=-0{,}8+0{,}2=-0{,}6.
Agora a covariância:
\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathbb{E}[XY]-\mathbb{E}[X]\mathbb{E}[Y]=-0{,}6 - (-0{,}2)\cdot 1{,}0 = -0{,}6 + 0{,}2 = -0{,}4.
Interpretação: a covariância negativa indica que, em média, quando X aumenta Y tende a diminuir um pouco (não é forte, veremos o coeficiente de correlação).

Passo 7

Cálculo das variâncias \mathrm{Var}(X) e \mathrm{Var}(Y).
Fórmula: \mathrm{Var}(X)=\mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2, onde \mathbb{E}[X^2]=\sum_x x^2 P_X(x).
Calcule \mathbb{E}[X^2]:
\mathbb{E}[X^2]=(-1)^2\cdot 0{,}6 + (1)^2\cdot 0{,}4 = 1\cdot 0{,}6 + 1\cdot 0{,}4 = 1{,}0.
Logo
\mathrm{Var}(X)=1{,}0 - (-0{,}2)^2 = 1{,}0 - 0{,}04 = 0{,}96.
Calcule \mathbb{E}[Y^2]:
\mathbb{E}[Y^2]=(-2)^2\cdot 0{,}3 + 0^2\cdot 0{,}2 + 2^2\cdot 0{,}2 + 4^2\cdot 0{,}3.
Valores: 4\cdot 0{,}3=1{,}2, 4\cdot 0{,}2=0{,}8, 16\cdot 0{,}3=4{,}8. Somando:
\mathbb{E}[Y^2]=1{,}2 + 0 + 0{,}8 + 4{,}8 = 6{,}8.
Então
\mathrm{Var}(Y)=6{,}8 - (1{,}0)^2 = 6{,}8 - 1{,}0 = 5{,}8.
Desvio-padrão (útil para correlação):
\sigma_X=\sqrt{0{,}96}\approx 0{,}9798,\qquad \sigma_Y=\sqrt{5{,}8}\approx 2{,}4083.

Passo 8

Coeficiente de correlação (definição, cálculo e interpretação).
Definição:
\rho_{X,Y}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y}.
Substituindo os valores:
\rho_{X,Y}=\frac{-0{,}4}{\sqrt{0{,}96}\,\sqrt{5{,}8}}=\frac{-0{,}4}{\sqrt{5{,}568}}\approx -0{,}170.
Interpretação: correlação negativa fraca (valor perto de -0{,}17). Confirma a ideia da covariância negativa, mas mostra que a relação linear não é forte.

Passo 9

Algumas probabilidades condicionais úteis (exemplos de aplicação para prova).
  1. P(Y>0\mid X=-1). Pelo que já calculei para X=-1, os valores Y>0 são 2 e 4. Então
P(Y>0\mid X=-1)=P(Y=2\mid X=-1)+P(Y=4\mid X=-1)=\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{2}=0{,}5.
  1. P(X=1\mid Y=4). Aqui uso a definição de probabilidade condicional invertendo:
P(X=1\mid Y=4)=\frac{P_{X,Y}(1,4)}{P_Y(4)}=\frac{0{,}1}{0{,}3}=\frac{1}{3}\approx 0{,}3333.
Comentário motivador: em prova, muitas vezes pedem exatamente esse tipo de cálculo – pegue a entrada da tabela e divida pela marginal da linha/coluna apropriada.

Resposta

P_X(-1)=0{,}6
P_X(1)=0{,}4
P_Y(-2)=0{,}3
P_Y(0)=0{,}2
P_Y(2)=0{,}2
P_Y(4)=0{,}3
P_{Y\mid X=1}:\;P(-2\mid1)=0{,}5,\;P(0\mid1)=0,\;P(2\mid1)=0{,}25,\;P(4\mid1)=0{,}25
X e Y são dependentes (ex.: P_{X,Y}(1,-2)=0{,}2\neq 0{,}12=P_X(1)P_Y(-2))
\mathbb{E}[X]=-0{,}2
\mathbb{E}[Y]=1{,}0
\mathbb{E}[XY]=-0{,}6
\mathrm{Cov}(X,Y)=-0{,}4
\mathrm{Var}(X)=0{,}96
\mathrm{Var}(Y)=5{,}8
\rho_{X,Y}\approx -0{,}170
P(Y>0\mid X=-1)=0{,}5
P(X=1\mid Y=4)=\tfrac{1}{3}

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