Se uma função constante tem a equação
, explique o que acontece se:
Passo 1
O enunciado dá uma função constante
com fórmula
e pede para explicar o que acontece no caso
.
Informações dadas:
- A função é
. - A constante
satisfaz . - Não foi especificado o domínio; por padrão vou assumir que o domínio é
(todos os reais), mas as conclusões valem para qualquer domínio com pelo menos dois pontos.
Passo 2
O que significa ser função constante: por definição,
quer dizer que, para todo
no domínio, o valor de
é sempre o mesmo número
. Em símbolos:
Consequência imediata: a imagem (ou contradomínio efetivo) da função é o conjunto
. Ou seja, o conjunto de valores que a função assume é exatamente esse único valor.
Passo 3
Gráfico e posição relativa ao eixo
: o gráfico de
é a reta horizontal
. Como
, essa reta fica abaixo do eixo
(o eixo
é
). Então, geometricamente, é uma linha horizontal inteiramente abaixo do eixo das abscissas.
Passo 4
Interseções com os eixos e raízes: a interseção com o eixo
ocorre em
, portanto o ponto de interseção é
. A interseção com o eixo
(raízes da função) exigiria resolver
, isto é
o que é falso porque
. Logo, a função não tem raízes e não cruza o eixo
(não existe
tal que
).
Passo 5
Sinal da função: como
para todo
e
, temos
Ou seja, a função é negativa em todos os pontos do domínio.
Passo 6
Monotonicidade e injetividade: para quaisquer
no domínio vale
. Assim a função é simultaneamente não-decrescente e não-crescente (é monotona em ambos os sentidos), mas não é estritamente monotona. Em particular, a função não é injetiva (a menos que o domínio tenha só um ponto), pois valores diferentes de
dão o mesmo valor
.
Passo 7
Derivada e tangente: supondo domínio aberto (por exemplo
), a derivada existe e é zero em todo ponto:
Isso expressa que a tangente em qualquer ponto é horizontal — coerente com o gráfico ser uma linha horizontal.
Passo 8
Continuidade e limites: a função constante é contínua em todo ponto. Para qualquer
,
Uma maneira rápida de ver isso é: para qualquer
basta escolher qualquer
porque
já é exatamente
para todo
.
Passo 9
Integral definida e “área”: para quaisquer
,
Como
e
, o valor da integral é negativo — geometricamente isso corresponde à “área algébrica” abaixo do eixo
. Se for preciso a área geométrica positiva usa-se
.
Passo 10
Implicações práticas para prova (resumindo o que responder rápido):
- dizer que o gráfico é uma reta horizontal
abaixo do eixo ; - afirmar que
para todo ; - afirmar que não existem raízes (nenhum
tal que ); - mencionar que
, é contínua, não é injetiva e .
Força aí — se pintar uma questão na prova, responde isso com poucas frases e um desenho da reta horizontal: costuma garantir pontos fáceis.
Resposta
O gráfico é a reta horizontal
situada abaixo do eixo
; para todo
vale
(a função é negativa em todos os pontos), não tem raízes, é contínua e diferenciável com
em todo ponto, não é injetiva, tem imagem
e
(negativo quando
).