Se uma função constante tem a equação f(x)=c, explique o que acontece se:
c<0

Passo 1

O enunciado dá uma função constante f com fórmula f(x)=c e pede para explicar o que acontece no caso c<0.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=c.
  • A constante c satisfaz c<0.
  • Não foi especificado o domínio; por padrão vou assumir que o domínio é \mathbb{R} (todos os reais), mas as conclusões valem para qualquer domínio com pelo menos dois pontos.

Passo 2

O que significa ser função constante: por definição, f(x)=c quer dizer que, para todo x no domínio, o valor de f é sempre o mesmo número c. Em símbolos:
\forall x,\quad f(x)=c.
Consequência imediata: a imagem (ou contradomínio efetivo) da função é o conjunto \{c\}. Ou seja, o conjunto de valores que a função assume é exatamente esse único valor.

Passo 3

Gráfico e posição relativa ao eixo x: o gráfico de y=f(x)=c é a reta horizontal y=c. Como c<0, essa reta fica abaixo do eixo x (o eixo x é y=0). Então, geometricamente, é uma linha horizontal inteiramente abaixo do eixo das abscissas.

Passo 4

Interseções com os eixos e raízes: a interseção com o eixo y ocorre em x=0, portanto o ponto de interseção é (0,c). A interseção com o eixo x (raízes da função) exigiria resolver f(x)=0, isto é
c=0,
o que é falso porque c<0. Logo, a função não tem raízes e não cruza o eixo x (não existe x tal que f(x)=0).

Passo 5

Sinal da função: como f(x)=c para todo x e c<0, temos
\forall x,\quad f(x)<0.
Ou seja, a função é negativa em todos os pontos do domínio.

Passo 6

Monotonicidade e injetividade: para quaisquer x_1<x_2 no domínio vale f(x_1)=f(x_2). Assim a função é simultaneamente não-decrescente e não-crescente (é monotona em ambos os sentidos), mas não é estritamente monotona. Em particular, a função não é injetiva (a menos que o domínio tenha só um ponto), pois valores diferentes de x dão o mesmo valor c.

Passo 7

Derivada e tangente: supondo domínio aberto (por exemplo \mathbb{R}), a derivada existe e é zero em todo ponto:
f'(x)=0\quad\text{para todo }x.
Isso expressa que a tangente em qualquer ponto é horizontal — coerente com o gráfico ser uma linha horizontal.

Passo 8

Continuidade e limites: a função constante é contínua em todo ponto. Para qualquer a,
\lim_{x\to a} f(x)=c=f(a).
Uma maneira rápida de ver isso é: para qualquer \varepsilon>0 basta escolher qualquer \delta>0 porque f(x) já é exatamente c para todo x.

Passo 9

Integral definida e “área”: para quaisquer a<b,
\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b c\,dx = c\,(b-a).
Como c<0 e b-a>0, o valor da integral é negativo — geometricamente isso corresponde à “área algébrica” abaixo do eixo x. Se for preciso a área geométrica positiva usa-se |c|\,(b-a).

Passo 10

Implicações práticas para prova (resumindo o que responder rápido):
  • dizer que o gráfico é uma reta horizontal y=c abaixo do eixo x;
  • afirmar que f(x)<0 para todo x;
  • afirmar que não existem raízes (nenhum x tal que f(x)=0);
  • mencionar que f'(x)=0, f é contínua, não é injetiva e \operatorname{Im}(f)=\{c\}.
Força aí — se pintar uma questão na prova, responde isso com poucas frases e um desenho da reta horizontal: costuma garantir pontos fáceis.

Resposta

O gráfico é a reta horizontal y=c situada abaixo do eixo x; para todo x vale f(x)=c<0 (a função é negativa em todos os pontos), não tem raízes, é contínua e diferenciável com f'(x)=0 em todo ponto, não é injetiva, tem imagem \{c\} e \displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=c(b-a) (negativo quando b>a).

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