Se uma função constante tem a equação
, explique o que acontece se:
Passo 1
O enunciado dá uma função constante
com equação
e pede explicação do que acontece quando
.
Informações dadas:
- A função é constante: para todo
do domínio vale . - O parâmetro é positivo:
.
O que vou responder (lista de propriedades que vou explicar): gráfico, sinal e raízes, imagem (conjunto de valores), continuidade e derivabilidade, monotonicidade, integral, maior/menor (supremo/ínfimo), limites no infinito, e possibilidade de inversa.
Passo 2
Gráfico: o gráfico de
é uma reta horizontal no plano
localizada na altura
.
Explicação prática: para cada
a imagem é sempre
. Como
, essa reta fica acima do eixo
(o eixo das abscissas). Para esboçar no exame, desenhe uma linha horizontal passando pelo ponto
.
Passo 3
Sinal e raízes: como
com
, tem-se para todo
Portanto a função é estritamente positiva em todo o domínio e não possui raízes (ou zeros), isto é, não existe
tal que
.
Passo 4
Domínio e imagem (alcance):
- Se o domínio for
(caso usual), então o domínio é . - A imagem/contradomínio efetivo (conjunto de valores realmente assumidos) é
Ou seja, o conjunto imagem contém exatamente um elemento:
.
Passo 5
Continuidade: a função constante é contínua em todo ponto do domínio.
Prova curta (estilo exame, sem formalidade pesada): para qualquer
,
então para qualquer
basta qualquer
para garantir
. Logo é contínua em todos os pontos.
Passo 6
Derivada:
é diferenciável em todo ponto do domínio e a derivada é zero para todo
:
Justificativa simples: a diferença incremental é
, e o limite quando
é
.
Passo 7
Monotonicidade:
é ao mesmo tempo não-decrecente e não-crescente (ou seja, monotonia fraca). Para quaisquer
vale
então
e
. Não é estritamente crescente nem estritamente decrescente (a menos que o domínio tenha só um ponto).
Passo 8
Integral definida: para quaisquer
,
Interpretação geométrica: a área sob o gráfico entre
e
é a área de um retângulo de altura
e base
.
Passo 9
Boundedness, máximo e mínimo, supremo e ínfimo:
- A função é limitada: existe
tal que (por exemplo ). - Máximo e mínimo existem e são iguais:
e . - Supremo e ínfimo valem
Passo 10
Limites no infinito e em pontos:
- Para qualquer ponto
,
- Nos infinitos,
Passo 11
Injetividade e inversa: se o domínio contém pelo menos dois pontos,
não é injetora (pois vários
têm a mesma imagem
). Logo, em geral,
não tem inversa global. Observação: se o domínio for um único ponto, aí é invertível trivialmente, mas isso é um caso degenerate.
Passo 12
Resumo prático (como usar isso numa prova — checklist rápido):
- Para verificar sinal: veja
. Se a função é positiva em todo lugar. - Para esboçar gráfico: desenhe reta horizontal em
. - Para derivada: responda imediatamente
. - Para integral entre
e : calcule . - Para zeros: diga “nenhum” quando
. - Para inversa: diga “não existe” (salvo domínio trivial).
- Para continuidade, limites e extremum: cite que é contínua, limites iguais a
e .
Vai dar certo — essas propriedades são rápidas de enunciar e valem muitos pontos se você souber escrever em poucas linhas.
Resposta
A função
com
tem gráfico uma reta horizontal em
acima do eixo
; é positiva para todo
(não tem zeros); imagem
; contínua e diferenciável em todo ponto com
; é ao mesmo tempo não-decrecente e não-crescente (não estritamente monotônica);
; é limitada com
;
; e não é injetora (portanto, em geral, não tem inversa).