Se uma função constante tem a equação f(x)=c, explique o que acontece se:
c>0

Passo 1

O enunciado dá uma função constante f com equação f(x)=c e pede explicação do que acontece quando c>0.
Informações dadas:
  • A função é constante: para todo x do domínio vale f(x)=c.
  • O parâmetro é positivo: c>0.
O que vou responder (lista de propriedades que vou explicar): gráfico, sinal e raízes, imagem (conjunto de valores), continuidade e derivabilidade, monotonicidade, integral, maior/menor (supremo/ínfimo), limites no infinito, e possibilidade de inversa.

Passo 2

Gráfico: o gráfico de f(x)=c é uma reta horizontal no plano (x,y) localizada na altura y=c.
Explicação prática: para cada x a imagem é sempre c. Como c>0, essa reta fica acima do eixo x (o eixo das abscissas). Para esboçar no exame, desenhe uma linha horizontal passando pelo ponto (0,c).

Passo 3

Sinal e raízes: como f(x)=c com c>0, tem-se para todo x
f(x)=c>0.
Portanto a função é estritamente positiva em todo o domínio e não possui raízes (ou zeros), isto é, não existe x tal que f(x)=0.

Passo 4

Domínio e imagem (alcance):
  • Se o domínio for \mathbb{R} (caso usual), então o domínio é \mathbb{R}.
  • A imagem/contradomínio efetivo (conjunto de valores realmente assumidos) é
f(\mathbb{R})=\{c\}.
Ou seja, o conjunto imagem contém exatamente um elemento: c.

Passo 5

Continuidade: a função constante é contínua em todo ponto do domínio.
Prova curta (estilo exame, sem formalidade pesada): para qualquer x_0,
|f(x)-f(x_0)|=|c-c|=0,
então para qualquer \epsilon>0 basta qualquer \delta>0 para garantir |f(x)-f(x_0)|<\epsilon. Logo é contínua em todos os pontos.

Passo 6

Derivada: f é diferenciável em todo ponto do domínio e a derivada é zero para todo x:
f'(x)=0\quad\text{para todo }x.
Justificativa simples: a diferença incremental é \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{c-c}{h}=0, e o limite quando h\to0 é 0.

Passo 7

Monotonicidade: f é ao mesmo tempo não-decrecente e não-crescente (ou seja, monotonia fraca). Para quaisquer x_1<x_2 vale
f(x_1)=c=f(x_2),
então f(x_1)\le f(x_2) e f(x_1)\ge f(x_2). Não é estritamente crescente nem estritamente decrescente (a menos que o domínio tenha só um ponto).

Passo 8

Integral definida: para quaisquer a<b,
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{a}^{b} c\,dx = c(b-a).
Interpretação geométrica: a área sob o gráfico entre x=a e x=b é a área de um retângulo de altura c e base b-a.

Passo 9

Boundedness, máximo e mínimo, supremo e ínfimo:
  • A função é limitada: existe M>0 tal que |f(x)|\le M (por exemplo M=|c|).
  • Máximo e mínimo existem e são iguais: \max f=c e \min f=c.
  • Supremo e ínfimo valem
\sup f=\inf f=c.

Passo 10

Limites no infinito e em pontos:
  • Para qualquer ponto x_0,
\lim_{x\to x_0} f(x)=c.
  • Nos infinitos,
\lim_{x\to+\infty} f(x)=\lim_{x\to-\infty} f(x)=c.

Passo 11

Injetividade e inversa: se o domínio contém pelo menos dois pontos, f não é injetora (pois vários x têm a mesma imagem c). Logo, em geral, f não tem inversa global. Observação: se o domínio for um único ponto, aí é invertível trivialmente, mas isso é um caso degenerate.

Passo 12

Resumo prático (como usar isso numa prova — checklist rápido):
  • Para verificar sinal: veja c. Se c>0 a função é positiva em todo lugar.
  • Para esboçar gráfico: desenhe reta horizontal em y=c.
  • Para derivada: responda imediatamente f'(x)=0.
  • Para integral entre a e b: calcule c(b-a).
  • Para zeros: diga “nenhum” quando c\ne0.
  • Para inversa: diga “não existe” (salvo domínio trivial).
  • Para continuidade, limites e extremum: cite que é contínua, limites iguais a c e \max=\min=c.
Vai dar certo — essas propriedades são rápidas de enunciar e valem muitos pontos se você souber escrever em poucas linhas.

Resposta

A função f(x)=c com c>0 tem gráfico uma reta horizontal em y=c acima do eixo x; é positiva para todo x (não tem zeros); imagem f(\mathbb{R})=\{c\}; contínua e diferenciável em todo ponto com f'(x)=0; é ao mesmo tempo não-decrecente e não-crescente (não estritamente monotônica); \int_{a}^{b}f(x)\,dx=c(b-a); é limitada com \sup f=\inf f=\max f=\min f=c; \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=c; e não é injetora (portanto, em geral, não tem inversa).

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