Função de consumo C(Y, r)=c Y-b r.
a) Calcule \frac{\partial C}{\partial Y}.
b) Calcule \frac{\partial C}{\partial r}.
c) Interprete economicamente.

Passo 1

O enunciado nos dá a função de consumo
C(Y,r)=c\,Y - b\,r
com duas variáveis: renda (Y) e taxa de juros (r). O objetivo é encontrar as derivadas parciais em relação a cada variável e interpretar o resultado economicamente. Para isso, vamos usar a definição de derivada parcial: ao derivar em relação a uma variável, tratamos a outra como constante.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial C}{\partial Y}, tratamos r como constante. Na expressão
C(Y,r)=c\,Y - b\,r
o termo c\,Y tem derivada c em relação a Y, e o termo -b\,r desaparece (derivada zero) pois não depende de Y. Logo,
\frac{\partial C}{\partial Y} = c.

Passo 3

Para calcular \frac{\partial C}{\partial r}, tratamos Y como constante. Na mesma função
C(Y,r)=c\,Y - b\,r
o termo c\,Y some (derivada zero) porque não depende de r, e o termo -b\,r tem derivada -b em relação a r. Assim,
\frac{\partial C}{\partial r} = -b.

Passo 4

Economicamente,
\frac{\partial C}{\partial Y}=c é a propensão marginal a consumir: indica quanto o consumo aumenta (em unidades de consumo) quando a renda aumenta em uma unidade.
\frac{\partial C}{\partial r}=-b mostra a sensibilidade do consumo à taxa de juros: um aumento de uma unidade na taxa de juros reduz o consumo em b unidades, refletindo que juros mais altos desestimulam o consumo.

Resposta

a) \displaystyle \frac{\partial C}{\partial Y} = c.
b) \displaystyle \frac{\partial C}{\partial r} = -b.
c) c é a propensão marginal a consumir em relação à renda, e -b indica quanto o consumo cai quando a taxa de juros sobe.

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