A função de custo no curto prazo de uma empresa é expressa pela equação
\mathrm{CT}=200+55 q, em que CT é o custo total e q é a quantidade total produzida, ambos medidos em dezenas de milhares de unidades.
Qual seria seu custo marginal de produção?

Passo 1

O enunciado dá a função de custo total no curto prazo
\mathrm{CT}=200+55\,q,
em que \mathrm{CT} é o custo total e q é a quantidade produzida. Ambos estão medidos em “dezenas de milhares de unidades” (ou seja, q=1 corresponde a 10{,}000 unidades físicas). A pergunta é: qual é o custo marginal de produção?

Passo 2

O que é custo marginal? Vou explicar devagarzinho: custo marginal (CM) é a variação do custo total quando produzimos uma quantidade adicional muito pequena. Matemática e economicamente isso é a derivada do custo total em relação à quantidade. Em fórmula:
\text{CM}(q)=\frac{d\,\mathrm{CT}}{d q}.
Aqui \text{CM}(q) é o custo marginal quando a produção é q; \mathrm{CT} é a função custo total; e \frac{d\,\mathrm{CT}}{d q} significa "a taxa de variação instantânea de \mathrm{CT} por unidade de q". Em palavras: quanto aumenta o custo total quando aumento q em uma unidade (a unidade usada para q, que aqui é “dezenas de milhares”).

Passo 3

Outra forma equivalente de pensar, sem derivada formal, é usar diferença finita para funções lineares: se \mathrm{CT}=200+55q, então para um acréscimo \Delta q temos
\Delta \mathrm{CT}=55\cdot\Delta q.
Logo o aumento de custo por unidade de q é sempre 55. Isso já dá a ideia do custo marginal: a cada incremento de 1 em q (isto é, a cada 10{,}000 unidades físicas a mais), o custo total sobe 55 (nas unidades monetárias em que \mathrm{CT} está medidas).

Passo 4

Calculemos a derivada explicitamente para ficar formal:
\frac{d\,\mathrm{CT}}{d q}=\frac{d}{d q}\big(200+55q\big)=55,
pois a derivada de uma constante ( 200) é 0 e a derivada de 55q é 55. Portanto o custo marginal é constante e igual a 55.

Passo 5

Interpretação de unidades (muito importante para a prova): como q foi dado em “dezenas de milhares de unidades”,
  • o resultado \text{CM}=55 significa "o custo aumenta em 55 (unidades de custo) para cada incremento de 1 em q", ou seja, para cada 10{,}000 unidades físicas produzidas a mais, o custo aumenta 55.
  • Se você quisesse o custo marginal por unidade física (por uma única unidade), divide 55 por 10{,}000:
\text{CM por unidade física}=\frac{55}{10{,}000}=0,0055.í
  • Se quisesse por 1{,}000 unidades físicas (um milhar), seria \frac{55}{10}=5{,}5.

Resposta

55

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