A função custo mensal de fabricação de um produto é dado por
, onde
é a quantidade fabricada. Se o preço de venda do produto for
, determine: a) a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para que se tenha lucro máximo.
Passo 1
O enunciado me dá a função custo mensal de fabricação
e diz que o preço de venda unitário é R$ 12,00. Queremos encontrar a quantidade
que maximiza o lucro mensal. Para isso, vamos precisar definir a função lucro e usar derivadas para achar seu ponto crítico.
Passo 2
O lucro
é a diferença entre a receita e o custo. A receita é
. Logo,
Passo 3
Para achar o máximo de
, calculamos sua derivada e igualamos a zero:
Passo 4
Resolvendo
, temos:
Passo 5
Analisando os dois resultados,
é negativo (descartamos pois não faz sentido produzir quantidade negativa) e
é positiva. Para confirmar que este ponto é máximo, examina-se a segunda derivada:
Passo 6
Em
a segunda derivada fica negativa, indicando um máximo. Logo, a quantidade que maximiza o lucro é
Resposta
A quantidade que maximiza o lucro é
unidades por mês.