A função custo mensal de fabricação de um produto é dado por C(x)=x^3-2 x^2+2 x-4, onde x é a quantidade fabricada. Se o preço de venda do produto for R , determine: a) a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para que se tenha lucro máximo.

Passo 1

O enunciado me dá a função custo mensal de fabricação C(x)=x^3-2x^2+2x-4 e diz que o preço de venda unitário é R$ 12,00. Queremos encontrar a quantidade 12,00 Queremos encontrar a quantidade que maximiza o lucro mensal. Para isso, vamos precisar definir a função lucro e usar derivadas para achar seu ponto crítico.

Passo 2

O lucro Pi(x) é a diferença entre a receita e o custo. A receita é R(x)=12x. Logo,
Pi(x)=R(x)-C(x)=12x - l(x^3-2x^2+2x-4r)= -x^3+2x^2+10x+4

Passo 3

Para achar o máximo de Pi(x), calculamos sua derivada e igualamos a zero:
Pi'(x)=ddx(-x^3+2x^2+10x+4) = -3x^2+4x+10

Passo 4

Resolvendo Pi'(x)=0, temos:
-3x^2+4x+10=0 iff 3x^2-4x-10=0 implies x=4pmraiz16+1206=4pm2raiz346=2pmraiz343

Passo 5

Analisando os dois resultados, x=(2-raiz34)/3 é negativo (descartamos pois não faz sentido produzir quantidade negativa) e x=(2+raiz34)/3 é positiva. Para confirmar que este ponto é máximo, examina-se a segunda derivada:
Pi''(x)=ddx(-3x^2+4x+10)= -6x+4

Passo 6

Em x=(2+raiz34)/3 a segunda derivada fica negativa, indicando um máximo. Logo, a quantidade que maximiza o lucro é
x=2+raiz343approx2,61

Resposta

A quantidade que maximiza o lucro é x=2+raiz343approx2,61 unidades por mês.

Exercícios relacionados