Função f(x) é dada em forma implícita pela equação x^{2} y-x y^{3}+2=y. A equação da reta normal ao gráfico de f(x) no ponto de abscissa x=0 é:
Escolha uma opção:
a. x+8 y+16=0
b. x+8 y-2=0
c. x-8 y-16=0
d. x-8 y+16=0
e. x+8 y-16=0

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^{2}y \;-\; x\,y^{3} \;+\; 2 \;=\; y
e pede a reta normal ao gráfico de y=f(x) no ponto de abscissa x=0. Vamos precisar achar o ponto (0,y_{0}), a derivada y'=f'(x) por diferenciação implícita e então a equação da normal.

Passo 2

Para achar o ponto, ponho x=0 na equação original:
0^{2}\,y \;-\; 0\cdot y^{3} \;+\; 2 \;=\; y \quad\Longrightarrow\quad 2 = y
Logo o ponto é (0,2).

Passo 3

Agora diferencio implicitamente em relação a x:
\frac{d}{dx}(x^{2}y) \;-\;\frac{d}{dx}(x\,y^{3}) \;+\; \frac{d}{dx}(2) \;=\;\frac{d}{dx}(y).
Isso dá
2x\,y + x^{2}y' \;-\;\bigl(y^{3} +3x\,y^{2}y'\bigr) \;+\;0 \;=\;y'.
Reagrupando os termos em y':
x^{2}y' -3x\,y^{2}y' - y' \;=\;y^{3} - 2xy.
Portanto
y'\;=\;\frac{y^{3} - 2x\,y}{\,x^{2} -3x\,y^{2} -1\,}.

Passo 4

Avalio y' em (x,y)=(0,2):
\text{numerador} = 2^{3}-0 = 8, \quad \text{denominador} = 0 - 0 -1 = -1,
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f'(0) = y'(0,2) = \frac{8}{-1} = -8.
A inclinação da tangente é -8, então a da normal é
m_{\text{normal}} = -\frac{1}{f'(0)} = -\frac{1}{-8} = \tfrac18.

Passo 5

A equação da normal em forma ponto-inclinação é
y - 2 = \tfrac18\,(x - 0) \;\Longrightarrow\; 8(y-2) = x \;\Longrightarrow\; x - 8y + 16 = 0.

Resposta

(d)

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