Questāo 3
Ainda nāo
respondida
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questāo
Seja f(x)=-x \cdot e^{-2 x}. A concavidade da função f é voltada
Escolha uma opção:
a. para cima em (1,+\infty).
b. para baixo em (1,+\infty).
c. para cima em (-\infty,+\infty).
d. para cima em (-\infty, 2).
e. para baixo em (-\infty,+\infty).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = -x \cdot e^{-2x}
e pede em que intervalo a concavidade de f é voltada para cima ou para baixo. O conteúdo necessário é derivadas de primeira e segunda ordem e análise de sinal.

Passo 2

Calcular a primeira derivada usando a regra do produto em
f(x) = -x \cdot e^{-2x}.
Temos
f'(x) = \bigl(-1\bigr)\,e^{-2x} + (-x)\,\bigl(-2\,e^{-2x}\bigr) = -e^{-2x} + 2x\,e^{-2x} = e^{-2x}\,(2x - 1).

Passo 3

Calcular a segunda derivada aplicando novamente a regra do produto em
f'(x) = e^{-2x}\,(2x - 1).
Dessa forma
f''(x) = \bigl(-2\,e^{-2x}\bigr)\,(2x - 1) + e^{-2x}\,(2) = e^{-2x}\,\bigl[-2(2x-1) + 2\bigr] = e^{-2x}\,(-4x + 4) = 4\,e^{-2x}\,(1 - x).

Passo 4

Para analisar a concavidade observamos o sinal de f''(x):
  • Como e^{-2x}>0 para todo x, o sinal de f''(x) é o mesmo de (1 - x).
  • Se x<1, então 1 - x>0 e f''(x)>0, logo concavidade para cima em (-\infty,1).
  • Se x>1, então 1 - x<0 e f''(x)<0, logo concavidade para baixo em (1,\infty).

Passo 5

O enunciado pergunta onde a concavidade está voltada para baixo em (1,+\infty), correspondendo à alternativa (b).

Resposta

b. para baixo em (1,+\infty).

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