Questāo 3
Ainda nāo respondida
Vale 0,50 ponto(s).
『 Marcar questāo
0 valor de a \in \mathbb{R}, não nulo, para o qual gráfico da função f(x)=-x e^{a x} é côncavo para cima no intervalo (-\infty, 1) e côncavo para baixo no intervalo (1,+\infty) é:
Escolha uma opção:
a. 1
b. -1
c. -2
d. 2
e. -4

Passo 1

O enunciado pede o valor de a\neq0 tal que, para
f(x)=-x\,e^{a x},
tenhamos concavidade para cima em (-\infty,1) e para baixo em (1,\infty). Para isso vamos calcular a segunda derivada f''(x) e estudar seu sinal.

Passo 2

Primeiro calculamos f'(x) usando produto:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(-x\,e^{a x}\bigr) =-e^{a x}-a x\,e^{a x} =-\bigl(1+a x\bigr)e^{a x}.

Passo 3

Agora derivamos novamente:
f''(x) =-\frac{d}{dx}\Bigl[(1+a x)e^{a x}\Bigr] =-\Bigl[a\,e^{a x}+(1+a x)\,a\,e^{a x}\Bigr] =-a\,(2+a x)\,e^{a x}.
Como e^{a x}>0, o sinal de f''(x) é o de -a(2+a x).

Passo 4

Queremos f''(x)>0 para x<1 e f''(x)<0 para x>1. Note que
-\,a\,(2+a x)
é uma reta decrescente (coeficiente angular -a^2<0). Para que ela seja positiva antes de x=1 e negativa depois, sua raiz deve ocorrer em x=1. Logo,
-\,a\,(2+a\cdot1)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2+a=0 \quad\Longrightarrow\quad a=-2.

Resposta

a=-2 \Rightarrow alternativa (c)

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