A função definida por
f(x, y)=ccc x^2 y^32(x^2+y^2) & , & se (x, y) neq(0,0) 0 & , & se (x, y)=(0,0)
é contínua em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar se lim(x,y)to(0,0)f(x,y)=f(0,0), com f definida por f(x,y)=x^2y^32(x^2+y^2) para (x,y)neq(0,0) e f(0,0)=0. Este é um teste de continuidade em duas variáveis: precisamos mostrar que o limite vale zero.

Passo 2

Uma forma eficiente de avaliar limites em (0,0) é usar coordenadas polares: definimos x=rcostheta, y=rsintheta e fazemos rto0^+. Assim transformamos o quociente em função de r e theta.

Passo 3

Substituindo em f obtemos
f(x,y)=(rcostheta)^2,(rsintheta)^32l((rcostheta)^2+(rsintheta)^2r) =r^5cos^2thetasin^3theta2r^2 =r^3cos^2thetasin^3theta2
Como |cos^2thetasin^3theta|<=1, temos
|f(x,y)|<=r^32,
e isso tende a zero quando rto0.

Passo 4

Como o valor do limite é 0, que coincide com f(0,0), concluímos que f é contínua em (0,0).

Resposta

Sim, a função é contínua em (0,0).

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