Uma pedra é lançada verticalmente para cima. Sua altura
(metros), em relação ao solo, é dada por
, em que
indica o número de segundos decorridos após o lançamento. Em que instante a pedra atingirá sua altura máxima?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma pedra que é lançada pra cima e nos dá uma fórmula para a altura dela em função do tempo: $ h = 30 + 20t - 5t^{2} $. Aqui, $ h $ é a altura em metros e $ t $ é o tempo em segundos desde que a pedra foi lançada. Nosso objetivo é descobrir em que instante ($ t $) a pedra vai atingir a altura máxima.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a fórmula dada é uma função quadrática do tipo $ h(t) = at^{2} + bt + c $, onde:
- $ a = -5 $
- $ b = 20 $
- $ c = 30 $
Funções quadráticas têm um gráfico em forma de parábola. Como o coeficiente de $ t^{2} $ ($ a $) é negativo, a parábola abre pra baixo, o que significa que o ponto mais alto da parábola é o vértice, que corresponde à altura máxima que a pedra vai atingir.
Passo 3
Para encontrar o instante $ t $ em que a pedra atinge a altura máxima, vamos encontrar a coordenada do vértice da parábola. A fórmula para encontrar o tempo no vértice é:
Substituindo os valores de $ b $ e $ a $ que identificamos:
Então, $ t = 2 $ segundos.
Resposta
A pedra atinge sua altura máxima 2 segundos após o lançamento.