(Função Definida por Integral) Seja a função definida por
. Calcule a derivada de
e determine o comportamento de
para
e
.
A derivada de
é:
Passo 1
O enunciado define a função por integral como
. Aqui o conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona integrais definidas e derivadas, e também a análise de sinais para classificar pontos críticos.
Passo 2
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de
em relação a
é simplesmente o integrando avaliado em
:
Passo 3
Para determinar os valores de
em
e
, calculamos as integrais definidas:
Para :
Para
Para
:
Passo 4
Para classificar o comportamento em
e
, analisamos o sinal de
:
– Logo à esquerda de 0 temos e à direita
, então
é ponto de mínimo local.
– Logo à esquerda de temos
e à direita
, então
é ponto de máximo local.
– Logo à esquerda de 0 temos
– Logo à esquerda de
Resposta
A derivada é
. Temos
e
. O ponto
é mínimo local e
é máximo local.