(Função Definida por Integral) Seja a função definida por F(x)= integral0^x sin (t) d t. Calcule a derivada de F(x) e determine o comportamento de F(x) para x=0 e x=pi.
A derivada de F(x) é:
F^prime(x)=sin (x)

Passo 1

O enunciado define a função por integral como F(x)=integral0^xsin(t),dt. Aqui o conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona integrais definidas e derivadas, e também a análise de sinais para classificar pontos críticos.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a derivada de F(x) em relação a x é simplesmente o integrando avaliado em x:
F'(x)=sin(x)

Passo 3

Para determinar os valores de F(x) em x=0 e x=pi, calculamos as integrais definidas:
Para x=0:
F(0)=integral0^0sin(t),dt=0
Para x=pi:
F(pi)=integral0^pisin(t),dt=[-cos(t)]0^pi=(-cospi)-(-cos0)=1-(-1)=2

Passo 4

Para classificar o comportamento em x=0 e x=pi, analisamos o sinal de F'(x)=sin(x):
– Logo à esquerda de 0 temos sin(x)<0 e à direita sin(x)>0, então x=0 é ponto de mínimo local.
– Logo à esquerda de pi temos sin(x)>0 e à direita sin(x)<0, então x=pi é ponto de máximo local.

Resposta

A derivada é F'(x)=sin(x). Temos F(0)=0 e F(pi)=2. O ponto x=0 é mínimo local e x=pi é máximo local.

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