(Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1) Se g(x)=integral1^x e^t^2 d t, calcule g^prime(x) e mostre como o Teorema Fundamental do Cálculo pode ser aplicado para encontrar a derivada de uma integral definida.
A derivada de g(x) é:
g^prime(x)=e^x^2

Passo 1

O enunciado define a função por uma integral de 1 até x de e{t2} e pede para encontrar sua derivada usando o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1. O conteúdo aqui é justamente a relação entre derivada e integral definida, e vamos precisar da hipótese de continuidade da função integranda.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 1 diz que, se fizermos
G(x)=integrala^x f(t),dt
e f for contínua em um intervalo que contém a e x, então G é diferenciável e
G'(x)=f(x)

Passo 3

No nosso caso, temos f(t)=e{t2}, que é contínua em todo R. Logo, aplicando o teorema diretamente em
g(x)=integral1^x e^t^2,dt,
obtemos
g'(x)=e^x^2

Resposta

e^x^2

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