(Função de Fresnel) A função de Fresnel S(x) é dada por S(x)= S(x). Encontre a derivada de S(x) usando o Teorema Fundamental do Cálculo e discuta sua interpretação.
A derivada de S^prime(x)=sin (pi x^22) é:

Passo 1

O enunciado define a função de Fresnel como uma integral dependente do parâmetro superior, ou seja, temos S(x)=integral0^xsinl(tfracpi t^22r),dt. O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivada de integral com o integrando, e a ação necessária é aplicar esse teorema para obter S'(x).

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) diz que se F(x)=integrala^xf(t),dt, então F'(x)=f(x). É fundamental entender que a derivada faz a “inversão” da operação de integração quando o limite superior depende de x.
No nosso caso, o integrando é f(t)=sinl(tfracpi t^22r). Aplicando o teorema, basta substituir t por x na expressão de f.
Assim, obtemos
S'(x)=sinl(tfracpi x^22r)

Passo 3

Interpretando esse resultado, percebemos que a derivada de S(x) em um ponto x é exatamente o valor do integrando nesse mesmo x. Isso significa que a taxa instantânea de variação da função de Fresnel coincide com a contribuição local da integral no limite superior.

Resposta

S'(x)=sinl(tfracpi x^22r) A interpretação é que essa derivada representa a taxa de variação instantânea de S(x) e coincide com o integrando avaliado em x.

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