(Função de Fresnel) A função de Fresnel
é dada por
. Encontre a derivada de
usando o Teorema Fundamental do Cálculo e discuta sua interpretação.
A derivada de
é:
Passo 1
O enunciado define a função de Fresnel como uma integral dependente do parâmetro superior, ou seja, temos
. O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona derivada de integral com o integrando, e a ação necessária é aplicar esse teorema para obter
.
Passo 2
O Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) diz que se
, então
. É fundamental entender que a derivada faz a “inversão” da operação de integração quando o limite superior depende de
.
No nosso caso, o integrando é . Aplicando o teorema, basta substituir
por
na expressão de
.
Assim, obtemos
No nosso caso, o integrando é
Assim, obtemos
Passo 3
Interpretando esse resultado, percebemos que a derivada de
em um ponto
é exatamente o valor do integrando nesse mesmo
. Isso significa que a taxa instantânea de variação da função de Fresnel coincide com a contribuição local da integral no limite superior.