Uma função
é definida para todo
real pela fórmula
Sem calcular a integral, encontre
tal que
e
.
Passo 1
Aqui a ideia é construir o polinômio de Taylor de ordem 2 (maclaurin) de f em x=0, ou seja, achar p(x)=ax²+bx+c que satisfaça p(0)=f(0), p’(0)=f’(0) e p’’(0)=f’’(0).
Passo 2
Calculamos f(0). Como f(x)=4+∫₀ˣ (t+eᵗ)/(3+t⁴) dt, temos f(0)=4+∫₀⁰…=4. Então c=p(0)=4.
Encontramos f’(x) aplicando o teorema fundamental do cálculo: f’(x)=(x+eˣ)/(3+x⁴). Logo f’(0)=(0+1)/(3+0)=1/3. Então b=p’(0)=1/3.
Encontramos f’(x) aplicando o teorema fundamental do cálculo: f’(x)=(x+eˣ)/(3+x⁴). Logo f’(0)=(0+1)/(3+0)=1/3. Então b=p’(0)=1/3.
Passo 3
Para f’’(0), derivamos f’(x) por quociente: seja g(x)=x+eˣ e h(x)=3+x⁴. Então g’(x)=1+eˣ e h’(x)=4x³. Pela regra, f’’(x)=[g’(x)h(x)−g(x)h’(x)]/[h(x)]². Em x=0: g’(0)=2, g(0)=1, h(0)=3, h’(0)=0. Então f’’(0)=(2·3−1·0)/3²=6/9=2/3. Logo 2a=p’’(0)=2/3, ou seja a=1/3.
Passo 4
Montando p(x): a=1/3, b=1/3, c=4. Portanto p(x)=
.
Resposta
p(x)=\tfrac{1}{3}x^{2}+\tfrac{1}{3}x+4