Uma função f(x) é definida para todo x real pela fórmula
f(x)=4+integral0^x t+e^t3+t^4 d t
Sem calcular a integral, encontre p(x)=a x^2+b x+c tal que p(0)=f(0), p^prime(0)=f^prime(0) e p^prime prime(0)=f^prime prime(0).

Passo 1

Aqui a ideia é construir o polinômio de Taylor de ordem 2 (maclaurin) de f em x=0, ou seja, achar p(x)=ax²+bx+c que satisfaça p(0)=f(0), p’(0)=f’(0) e p’’(0)=f’’(0).

Passo 2

Calculamos f(0). Como f(x)=4+∫₀ˣ (t+eᵗ)/(3+t⁴) dt, temos f(0)=4+∫₀⁰…=4. Então c=p(0)=4.
Encontramos f’(x) aplicando o teorema fundamental do cálculo: f’(x)=(x+eˣ)/(3+x⁴). Logo f’(0)=(0+1)/(3+0)=1/3. Então b=p’(0)=1/3.

Passo 3

Para f’’(0), derivamos f’(x) por quociente: seja g(x)=x+eˣ e h(x)=3+x⁴. Então g’(x)=1+eˣ e h’(x)=4x³. Pela regra, f’’(x)=[g’(x)h(x)−g(x)h’(x)]/[h(x)]². Em x=0: g’(0)=2, g(0)=1, h(0)=3, h’(0)=0. Então f’’(0)=(2·3−1·0)/3²=6/9=2/3. Logo 2a=p’’(0)=2/3, ou seja a=1/3.

Passo 4

Montando p(x): a=1/3, b=1/3, c=4. Portanto p(x)= tfrac13x²+tfrac13x+4².

Resposta

p(x)=\tfrac{1}{3}x^{2}+\tfrac{1}{3}x+4

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