A função degrau unitário ou função de Heaviside, denotada por uc(t), c >= 0, é definida da seguinte forma
uc(t)= 1, & t >= c 0, & t<c
Determine a transformada de Laplace da função degrau unitário.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função degrau unitário
com (c\ge0].
Conteúdo: definição de transformada de Laplace e tratamento de função em “peçoes” (piecewise) via integral impropriamente.

Passo 2

Escrevemos a definição da transformada de Laplace de uc(t):
Luc(t)(s) =integral0^inftyuc(t),e^-s t,dt
Usando a definição de uc(t), dividimos a integral em dois trechos:
  • Para 0<= t<c, uc(t)=0.
  • Para t>= c, uc(t)=1.
    Logo,
Luc(t)(s) =integral0^c0cdot e^-s t,dt+integralc^infty1cdot e^-s t,dt =integralc^inftye^-s t,dt

Passo 3

Calculamos a integral
integralc^inftye^-s t,dt =limAtoinftyintegralc^Ae^-s t,dt =limAtoinftyl[-tfrac1se^-s tr]t=c^t=A =limAtoinftyl(-tfrac1se^-s A+tfrac1se^-s cr)
Para Re(s)>0 temos e^-sAto0 quando Atoinfty, restando
integralc^inftye^-s t,dt =e^-s cs

Resposta

boxedLuc(t)(s)=e^-c ss, Re(s)>0

Exercícios relacionados