Questão 4. Além dos casos tratados em aula, há um outro caso simples de equação de 2^a ordem redutível à 1^a ordem. Se uma função F(x, y, y^prime, y^prime prime) satisfaz a condição
F(x, lambda y, lambda y^prime, lambda y^prime prime)=lambda^k F(x, y, y^prime, y^prime prime)
dizemos que F(x, y, y^prime, y^prime prime) é homogênea de grau k em y e suas derivadas. Neste caso a equação diferencial F(x, y, y^prime, y^prime prime)=0 se reduz à primeira ordem pela substituição
z=z(x)=y^primey , y^prime=z y , y^prime prime=y z^prime+y^prime z=y z^prime+y z^2
Use este método para resolver:
y y^prime prime=2 x(y^prime)^2, y(2)=2, y^prime(2)=12.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
y,y''=2x,(y')^2
com as condições y(2)=2 e y'(2)=tfrac12. Note que se definirmos
F(x,y,y',y'')=y,y''-2x,(y')^2
então
F(x,lambda y,lambda y',lambda y'')=lambda^2F(x,y,y',y''),
ou seja, F é homogênea de grau k=2 em y e suas derivadas. Logo podemos usar a substituição
z(x)=y'y,
que reduz a ordem da equação de 2ª para 1ª.

Passo 2

Usando
y'=z,y, y''=y,z'+y',z=y,z'+y,z^2,
substituímos em y,y''=2x,(y')^2:
yl(y,z'+y,z^2r)=2xl(z,yr)^2 Longrightarrow y^2l(z'+z^2r)=2x,z^2,y^2
Cancelando y^2 (pressupondo yneq0), obtém-se a EDO de 1ª ordem
z'+z^2=2x,z^2 Longrightarrow z'=(2x-1),z^2

Passo 3

Separamos variáveis:
dzz^2=(2x-1),dx
Integrando ambos os lados, temos
integral z^-2,dz=integral(2x-1),dx Longrightarrow -,1z=x^2-x+C

Passo 4

Impondo a condição inicial para z:
z(2)=y'(2)y(2)=tfrac122=14,
logo em x=2:
-11/4=-(4)=2^2-2+C;Longrightarrow;-4=2+C;Longrightarrow;C=-6
Assim
-1z=x^2-x-6 Longrightarrow z(x)=-1x^2-x-6 =-1(x-3)(x+2)

Passo 5

Voltamos a y via
y'y=z(x) Longrightarrow dyy=z(x),dx Longrightarrow ln y=integral z(x),dx+D
Para calcular integral-dx(x-3)(x+2), fazemos frações parciais:
-1(x-3)(x+2) =-1/5x-3+1/5x+2,
logo
integral z,dx =-15ln|x-3|+15ln|x+2|+D =15lnl|x+2x-3r|+D
Portanto
ln y =15lnl|x+2x-3r|+D Longrightarrow y=e^Dl(x+2x-3r)^1/5 =C'l(x+2x-3r)^1/5

Passo 6

Usando y(2)=2:
2=C'l(2+22-3r)^1/5 =C'l(-4r)^1/5 =C'l(-4^1/5r) =-C',2^2/5
portanto C'=-2/2^2/5=-2^3/5. Assim a solução particular é
y(x) =-2^3/5l(x+2x-3r)^1/5

Resposta

boxedy(x)=-2^3/5l(x+2x-3r)^1/5

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