Questão 4. Além dos casos tratados em aula, há um outro caso simples de equação de
ordem redutível à
ordem. Se uma função
satisfaz a condição
dizemos que
é homogênea de grau
em
e suas derivadas. Neste caso a equação diferencial
se reduz à primeira ordem pela substituição
Use este método para resolver:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
com as condições
e
. Note que se definirmos
então
ou seja,
é homogênea de grau
em
e suas derivadas. Logo podemos usar a substituição
que reduz a ordem da equação de 2ª para 1ª.
Passo 2
Usando
substituímos em
:
Cancelando
(pressupondo
), obtém-se a EDO de 1ª ordem
Passo 3
Separamos variáveis:
Integrando ambos os lados, temos
Passo 4
Impondo a condição inicial para
:
logo em
:
Assim
Passo 5
Voltamos a
via
Para calcular
, fazemos frações parciais:
logo
Portanto
Passo 6
Usando
y(2)=2 :
portanto
C'=-2/2^2/5=-2^3/5 . Assim a solução particular é