Mostre que, se F(s)=Lf(t) existe para s>a >= 0 e c é uma constante, então Le^c t f(t)=F(s-c), desde que s>a+c.

Passo 1

O enunciado diz que temos F(s)=Lf(t) válida para ,s>a>=0, e pede para mostrar que
Le^ctf(t)=F(s-c) desde que s>a+c.
Para isso vamos usar diretamente a definição da transformada de Laplace e verificar a região de convergência.

Passo 2

Pela definição,
Le^ctf(t) =integral0^inftye^-stl(e^ctf(t)r),dt =integral0^inftye^-(s-c)tf(t),dt
Mas esse último integral é exatamente a definição de F avaliada em s-c, ou seja,
integral0^inftye^-(s-c)tf(t),dt =F(s-c),
desde que o parâmetro de Laplace s-c satisfaça s-c>a. Isso equivale a s>a+c, garantindo a convergência da integral.

Resposta

Le^ctf(t)=F(s-c), s>a+c

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