Se L in R e varepsilon é um número real positivo, mostre que:
|y|<varepsilon Leftrightarrow-varepsilon<y<varepsilon.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre
|y|<varepsilon
e
-varepsilon<y<varepsilon,
onde varepsilon>0.
O conteúdo é a definição de valor absoluto e propriedades de desigualdade. Vamos usar a definição
|y| = y, & y>=0, -,y, & y<0,
e analisar os dois sentidos da equivalência.

Passo 2

Mostramos primeiro que
|y|<varepsilon ;Longrightarrow; -varepsilon<y<varepsilon
Pela definição, consideramos dois casos:
  1. Se y>=0, então |y|=y. A hipótese |y|<varepsilon vira y<varepsilon. Além disso, como varepsilon>0 e y>=0, temos -varepsilon<0<= y. Combinando, concluímos
-varepsilon<y<varepsilon
  1. Se y<0, então |y|=-y. A hipótese |y|<varepsilon passa a -y<varepsilon, ou seja y>-varepsilon. E como y<0<varepsilon, obtemos novamente
-varepsilon<y<varepsilon
Em ambos os casos fica provado que |y|<varepsilon implica -varepsilon<y<varepsilon.

Passo 3

Agora mostramos o sentido inverso
-varepsilon<y<varepsilon ;Longrightarrow; |y|<varepsilon
De novo, dividimos em dois casos:
  1. Se y>=0, então |y|=y. A hipótese y<varepsilon já dá |y|<varepsilon.
  2. Se y<0, então |y|=-y. Da hipótese y>-varepsilon segue -y<varepsilon, isto é |y|<varepsilon.
Assim, em qualquer caso -varepsilon<y<varepsilon implica |y|<varepsilon.

Resposta

Ficou demonstrado que
|y|<varepsilon ;Long<=ftrightarrow; -varepsilon<y<varepsilon

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