Quais das séries alternadas nos exercicios 1-10 convergem e quais divergem? Justifique suas respostas.
sumn=2^infty(-1)^n+1 ln nln n^2

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternada sumn=2^infty(-1)^n+1ln nln n^2. O conteúdo aqui é convergência de séries alternadas, e vamos precisar usar o teste do termo geral (condição necessária para convergência) e o teste de Leibniz (quando aplicável).

Passo 2

Note que ln n^2=2ln n. Portanto podemos simplificar o termo geral:
ln nln n^2=ln n2ln n=12

Passo 3

Assim o termo geral da série passa a ser an=(-1)^n+1tfrac12.
Para qualquer série sum an convergente, é necessário que anto0 quando ntoinfty. Aqui temos
limntoinftyan=limntoinfty(-1)^n+1tfrac12=pmtfrac12neq0

Passo 4

Como o termo geral não tende a zero, pelo teste do termo geral a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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