Utilizando a definição de derivada, f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(x)h, encontre f^prime(x) sem utilizar a regra de LHôpital. Na sequência, determine a equação da reta tangente, y=f^prime(x0)(x- x0)+f(x0), ao gráfico de f(x) em x=x0, para os seguintes casos:
f(x)=raiz4 x em x0=4.

Passo 1

No primeiro passo, a gente resume o exercício: precisamos calcular a derivada de f(x)=√(4x) usando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
sem usar a regra de L’Hôpital e, em seguida, determinar a equação da reta tangente em x₀=4 pela fórmula
y=f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀).

Passo 2

Agora montamos o quociente incremental para f(x)=√(4x):
f(x+h)-f(x)h=raiz4(x+h)-raiz4xh
Para simplificar, vamos racionalizar o numerador multiplicando por sua conjugada.

Passo 3

Ao racionalizar, temos
raiz4(x+h)-raiz4xhcdotraiz4(x+h)+raiz4xraiz4(x+h)+raiz4x =4(x+h)-4xhl(raiz4(x+h)+raiz4xr) =4hhl(raiz4(x+h)+raiz4xr) =4raiz4(x+h)+raiz4x

Passo 4

Agora basta tomar o limite quando h→0. Substituindo x+h→x, obtemos
f'(x)=limhto04raiz4(x+h)+raiz4x=42raizx+2raizx=44raizx=1raizx

Passo 5

Com a derivada em mãos, calculamos em x₀=4:
f(4)=raiz16=4, f'(4)=1raiz4=12
Então a reta tangente é
y=f'(4)(x-4)+f(4)=12(x-4)+4=12x+2

Resposta

A derivada é f'(x)=1raizx e a reta tangente em x0=4 é y=tfrac12x+2.

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