Calcule o comprimento dos gráficos das funções:
y=cosh (x), x in[-1,1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do gráfico da função $ y = \cosh(x) $ no intervalo de $ x $ de y = cosh(x) a x . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $. A fórmula é:
y = f(x)
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada da função $ f(x) $.

Passo 3

No nosso caso, a função é $ f(x) = \cosh(x) $. Vamos encontrar a derivada dessa função.
Sabemos que:
f(x) = cosh(x)
Então, $ \frac{dy}{dx} = \sinh(x) $.

Passo 4

Agora, vamos substituir a derivada na fórmula do comprimento:
L = integral-1^1 raiz1 + sinh^2(x) , dx

Passo 5

Tem uma identidade hiperbólica que pode ajudar a simplificar a expressão dentro da raiz:
cosh^2(x) - sinh^2(x) = 1 Rightarrow 1 + sinh^2(x) = cosh^2(x)
Então, a integral fica:
L = integral-1^1 raizcosh^2(x) , dx
Como $ \cosh(x) $ é sempre positivo, a raiz quadrada de $ \cosh^2(x) $ é apenas $ \cosh(x) $. Portanto:
cosh(x)

Passo 6

Agora, vamos calcular essa integral. A antiderivada de $ \cosh(x) $ é $ \sinh(x) $, então:
cosh(x)
Sabemos que $ \sinh(-x) = -\sinh(x) $, então:
sinh(x)

Passo 7

Por fim, vamos calcular o valor numérico. Usando uma calculadora:
sinh(1) approx 1.1752
Então:
L approx 2 times 1.1752 = 2.3504

Resposta

O comprimento do gráfico de $ y = \cosh(x) $ no intervalo y = cosh(x) é aproximadamente 2.3504 unidades.

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