Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do gráfico da função $ y = \cosh(x) $ no intervalo de $ x $ de a . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente a fórmula para o comprimento de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva $ y = f(x) $ entre dois pontos $ a $ e $ b $. A fórmula é:
Aqui, $ \frac{dy}{dx} $ é a derivada da função $ f(x) $.
Passo 3
No nosso caso, a função é $ f(x) = \cosh(x) $. Vamos encontrar a derivada dessa função.
Sabemos que:
Então, $ \frac{dy}{dx} = \sinh(x) $.
Passo 4
Agora, vamos substituir a derivada na fórmula do comprimento:
Passo 5
Tem uma identidade hiperbólica que pode ajudar a simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Como $ \cosh(x) $ é sempre positivo, a raiz quadrada de $ \cosh^2(x) $ é apenas $ \cosh(x) $. Portanto:
Passo 6
Agora, vamos calcular essa integral. A antiderivada de $ \cosh(x) $ é $ \sinh(x) $, então:
Sabemos que $ \sinh(-x) = -\sinh(x) $, então:
sinh(x)
Passo 7
Por fim, vamos calcular o valor numérico. Usando uma calculadora:
sinh(1) approx 1.1752
Então:
L approx 2 times 1.1752 = 2.3504
Resposta
O comprimento do gráfico de $ y = \cosh(x) $ no intervalo y = cosh(x) é aproximadamente 2.3504 unidades.