A função densidade de probabilidade conjunta do vetor aleatório
é dada por:
em que
é a região formada pelas retas que passam pelos pontos
e
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Encontre
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Encontre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade conjunta! A gente tem uma função densidade conjunta dos vetores aleatórios $ X_1 $ e $ X_2 $. O objetivo é encontrar a função de distribuição acumulada de $ X_1 $, que é $ F_{X_1}(x_1) $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções densidade de probabilidade conjunta e integração sobre regiões específicas.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma função densidade de probabilidade conjunta. Ela nos dá a probabilidade de $ X_1 $ e $ X_2 $ assumirem certos valores simultaneamente. A integral dessa função sobre toda a região possível deve ser igual a 1, garantindo que todas as probabilidades somem corretamente.
Passo 3
A função que temos é $ f_{X_{1}, X_{2}}(x_{1}, x_{2}) = k I_{A}(x) $, onde $ I_A(x) $ é a função indicadora da região $ A $. Essa região $ A $ é delimitada pelas retas que passam pelos pontos $ (0,0) $, $ (1,1) $, $ (0,2) $ e $ (-1,1) $. Vamos precisar desenhar ou imaginar essa região para entender os limites de integração.
Passo 4
Vamos primeiro encontrar o valor de $ k $. Para isso, integramos a função densidade sobre toda a região $ A $ e igualamos a 1:
Precisamos calcular a área da região $ A $ para determinar $ k $.
Passo 5
Observando os pontos que definem $ A $, percebemos que a região é um losango simétrico com vértices em $ (0,0) $, $ (1,1) $, $ (0,2) $ e $ (-1,1) $. A área desse losango pode ser calculada usando a fórmula da área de um losango:
Onde $ d_{1} = 2 $ (distância entre $ (0,0) $ e $ (0,2) $) e $ d_{2} = 2 $ (distância entre $ (-1,1) $ e $ (1,1) $). Então,
Portanto,
Passo 6
Agora que sabemos que $ k = \frac{1}{2} $, vamos encontrar $ F_{X_1}(x_1) $, que é a probabilidade de $ X_1 $ ser menor ou igual a $ x_1 $. Isso corresponde a integrar a função densidade conjunta sobre todas as $ x_2 $ e para $ x_1’ $ de
até $ x_1 $.
Passo 7
Vamos identificar os limites de integração. Para cada $ x_1’ $ entre
e $ x_1 $, $ x_2 $ varia entre as linhas inferiores e superiores da região $ A $. Observando o losango, as linhas inferiores são $ x_2 = |x_1’| $ e as superiores $ x_2 = 2 - |x_1’| $.
Portanto,
Passo 8
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Então,
Passo 9
Vamos dividir a integral em duas partes, já que a função $ |x_1’| $ tem comportamentos diferentes para $ x_1’ < 0 $ e $ x_1’ \geq 0 $.
Para $ x_1’ $ de
a
:
Para $ x_1’ $ de
a
(assumindo $ x_1 \leq 1 $):
Passo 10
Somando as duas partes:
Resposta
A função de distribuição acumulada de $ X_1 $ é: