Uma função densidade de probabilidade que modela a probabilidade de ocorrência de sobrevivência de uma espécie de animal numa floresta é dada por
Determine o valor da constante
.
Passo 1
O enunciado dá a função densidade conjunta
válida na região definida por
O que o problema pede é determinar a constante
de normalização. Informação essencial que vamos usar: uma função densidade conjunta deve satisfazer
onde
é a região do plano onde
é definida. Assim precisamos calcular a integral dupla de
sobre a região
e igualar a
para obter
.
Passo 2
Vamos descrever a região
de forma a montar a integral. Para cada
com
o valor de
varia entre
Portanto podemos escrever a integral dupla em ordem
como
Vamos calcular essa integral passo a passo.
Passo 3
Calcular a integral interna em
:
Separe em duas integrais (propriedade da linearidade):
- A primeira é simples:
é constante em relação a , então
- A segunda é a primitiva de
, que é . Assim
Calcule a diferença de quadrados:
Portanto
Somando as duas partes:
Passo 4
Agora volte à integral externa com o fator
:
Calcule a integral em
. A primitiva de
é
, pois
Avalie entre
e
:
Portanto a integral dupla é
Impondo a condição de normalização
, obtemos