Uma função densidade de probabilidade que modela a probabilidade de ocorrência de sobrevivência de uma espécie de animal numa floresta é dada por
f(x, y)=c(x+y), \quad 0<x<3, \quad x<y<x+2
Determine o valor da constante c.

Passo 1

O enunciado dá a função densidade conjunta
f(x,y)=c(x+y)
válida na região definida por
0<x<3,\qquad x<y<x+2.
O que o problema pede é determinar a constante c de normalização. Informação essencial que vamos usar: uma função densidade conjunta deve satisfazer
\iint_{R} f(x,y)\,dA = 1,
onde R é a região do plano onde f é definida. Assim precisamos calcular a integral dupla de f sobre a região R e igualar a 1 para obter c.

Passo 2

Vamos descrever a região R de forma a montar a integral. Para cada x com
0<x<3
o valor de y varia entre
y_{\min}=x \quad\text{e}\quad y_{\max}=x+2.
Portanto podemos escrever a integral dupla em ordem dy\,dx como
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{x=0}^{3}\int_{y=x}^{x+2} c\,(x+y)\,dy\,dx.
Vamos calcular essa integral passo a passo.

Passo 3

Calcular a integral interna em y:
\int_{y=x}^{x+2} (x+y)\,dy.
Separe em duas integrais (propriedade da linearidade):
\int_{x}^{x+2} x\,dy + \int_{x}^{x+2} y\,dy.
  • A primeira é simples: x é constante em relação a y, então
\int_{x}^{x+2} x\,dy = x\bigl[y\bigr]_{y=x}^{y=x+2} = x\bigl((x+2)-x\bigr)=x\cdot 2 = 2x.
  • A segunda é a primitiva de y, que é \tfrac{1}{2}y^2. Assim
\int_{x}^{x+2} y\,dy = \tfrac{1}{2}\bigl[(x+2)^2 - x^2\bigr].
Calcule a diferença de quadrados:
(x+2)^2 - x^2 = x^2+4x+4 - x^2 = 4x+4.
Portanto
\int_{x}^{x+2} y\,dy = \tfrac{1}{2}(4x+4)=2x+2.
Somando as duas partes:
\int_{x}^{x+2} (x+y)\,dy = 2x + (2x+2) = 4x+2.

Passo 4

Agora volte à integral externa com o fator c:
\iint_{R} f(x,y)\,dA = \int_{0}^{3} c\,(4x+2)\,dx.
Calcule a integral em x. A primitiva de 4x+2 é 2x^2+2x, pois
\frac{d}{dx}(2x^2+2x)=4x+2.
Avalie entre 0 e 3:
\int_{0}^{3} (4x+2)\,dx = \bigl[2x^2+2x\bigr]_{0}^{3} = (2\cdot 3^2 + 2\cdot 3) - 0 = (18+6)=24.
Portanto a integral dupla é
\iint_{R} f(x,y)\,dA = c\cdot 24.
Impondo a condição de normalização \iint_{R} f(x,y)\,dA = 1, obtemos
c\cdot 24 = 1 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{1}{24}.

Resposta

c=\dfrac{1}{24}

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