Uma industria emite poluentes cuja taxa de emissão superficial é dada por
E(x, y)=3 x+4 y
na região triangular com vértices em (0,0),(2,0) e (2,3).
(a) Calcule a emissão total.

Passo 1

O enunciado dá a taxa de emissão superficial E(x,y)=3x+4y sobre uma região triangular com vértices em (0,0), (2,0) e (2,3). A pergunta é: calcular a emissão total sobre essa região (ou seja, integrar E sobre a região).
Informações relevantes:
  • A função de densidade de emissão é E(x,y)=3x+4y.
  • A região R é o triângulo com vértices (0,0), (2,0), (2,3).
  • É preciso calcular a integral dupla \iint_{R} E(x,y)\,dA.

Passo 2

Entender a forma da região R e escrever limites adequados.
A reta que liga (0,0) a (2,3) passa pela origem e tem coeficiente angular \dfrac{3}{2}. Logo a equação dessa reta é
y=\frac{3}{2}x.
O triângulo tem base ao longo de y=0 de x=0 até x=2, e o outro lado vertical em x=2 de y=0 até y=3. Uma forma conveniente de descrever R é fixar x entre 0 e 2 e, para cada x, y varia de 0 até \dfrac{3}{2}x. Ou seja,
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\\\ 0\le y\le \tfrac{3}{2}x\}.

Passo 3

Montar a integral dupla que representa a emissão total.
A emissão total é
\iint_{R} (3x+4y)\,dA.
Com os limites escolhidos (integrando primeiro em y, depois em x):
\iint_{R} (3x+4y)\,dA = \int_{x=0}^{2}\left(\int_{y=0}^{\frac{3}{2}x} (3x+4y)\,dy\right)dx.

Passo 4

Calcular a integral interna (em y) passo a passo.
Para integrar em y tratamos x como constante. A primitiva de 3x+4y em relação a y é
\int (3x+4y)\,dy = 3x\,y + 2y^{2} + C,
pois \dfrac{d}{dy}(3x\,y)=3x e \dfrac{d}{dy}(2y^{2})=4y. Avaliando entre y=0 e y=\dfrac{3}{2}x obtemos
\left[3x\,y + 2y^{2}\right]_{0}^{\frac{3}{2}x} = 3x\cdot\frac{3}{2}x + 2\left(\frac{3}{2}x\right)^{2}.

Passo 5

Simplificar o resultado da integral interna.
Calcule cada termo:
3x\cdot\frac{3}{2}x = \frac{9}{2}x^{2}, \qquad 2\left(\frac{3}{2}x\right)^{2} = 2\cdot\frac{9}{4}x^{2} = \frac{9}{2}x^{2}.
Somando:
\frac{9}{2}x^{2} + \frac{9}{2}x^{2} = 9x^{2}.
Portanto a integral interna reduziu-se a 9x^{2}, e a integral total passa a ser
\int_{0}^{2} 9x^{2}\,dx.

Passo 6

Calcular a integral externa (em x) e obter o valor final.
A primitiva de 9x^{2} em relação a x é 9\cdot \dfrac{x^{3}}{3}=3x^{3}. Avaliando entre 0 e 2:
\left[3x^{3}\right]_{0}^{2}=3\cdot 2^{3}-3\cdot 0^{3}=3\cdot 8=24.
Logo a emissão total sobre a região é 24.

Resposta

24

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