Uma industria emite poluentes cuja taxa de emissão superficial é dada por
na região triangular com vértices em
e
.
(a) Calcule a emissão total.
(a) Calcule a emissão total.
Passo 1
O enunciado dá a taxa de emissão superficial
sobre uma região triangular com vértices em
,
e
. A pergunta é: calcular a emissão total sobre essa região (ou seja, integrar
sobre a região).
Informações relevantes:
- A função de densidade de emissão é
. - A região
é o triângulo com vértices , , . - É preciso calcular a integral dupla
.
Passo 2
Entender a forma da região
e escrever limites adequados.
A reta que liga
a
passa pela origem e tem coeficiente angular
. Logo a equação dessa reta é
O triângulo tem base ao longo de
de
até
, e o outro lado vertical em
de
até
. Uma forma conveniente de descrever
é fixar
entre
e
e, para cada
,
varia de
até
. Ou seja,
Passo 3
Montar a integral dupla que representa a emissão total.
A emissão total é
Com os limites escolhidos (integrando primeiro em
, depois em
):
Passo 4
Calcular a integral interna (em
) passo a passo.
Para integrar em
tratamos
como constante. A primitiva de
em relação a
é
pois
e
. Avaliando entre
e
obtemos
Passo 5
Simplificar o resultado da integral interna.
Calcule cada termo:
Somando:
Portanto a integral interna reduziu-se a
, e a integral total passa a ser
Passo 6
Calcular a integral externa (em
) e obter o valor final.
A primitiva de
em relação a
é
. Avaliando entre
e
:
Logo a emissão total sobre a região é
.