Uma industria emite poluentes cuja taxa de emissão superficial é dada por
E(x, y)=3 x+4 y
na região triangular com vértices em (0,0),(2,0) e (2,3).
(b) O modelo sugere maior emissão em qual direção?

Passo 1

O enunciado dá a taxa de emissão superficial
E(x,y)=3x+4y
na região triangular com vértices em (0,0),(2,0) e (2,3). A pergunta (b) é: “O modelo sugere maior emissão em qual direção?” — ou seja, em que direção no plano (x,y) a função E cresce mais rapidamente.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcule as derivadas parciais de E. As derivadas parciais medem a taxa de variação de E quando uma variável muda e a outra fica fixa. Formalmente:
\frac{\partial E}{\partial x}=\text{taxa de variação de }E\text{ quando }x\text{ muda e }y\text{ é fixo},çãé
\frac{\partial E}{\partial y}=\text{taxa de variação de }E\text{ quando }y\text{ muda e }x\text{ é fixo}.çãé
Como E(x,y)=3x+4y são termos lineares, as derivadas são imediatas:
\frac{\partial E}{\partial x}=3,\qquad \frac{\partial E}{\partial y}=4.
Interpretação prática: se eu aumentar x em 1 unidade (mantendo y fixo), E aumenta em 3 unidades; se eu aumentar y em 1 unidade (mantendo x fixo), E aumenta em 4 unidades.

Passo 3

Definição e cálculo do gradiente. O gradiente de uma função escalares E(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla E=\left(\frac{\partial E}{\partial x},\frac{\partial E}{\partial y}\right).
O gradiente aponta na direção de maior crescimento da função e seu comprimento é a taxa máxima de crescimento por unidade de deslocamento. Para nosso E:
\nabla E=(3,4).

Passo 4

Normalizar o vetor para obter a direção unitária (às vezes a pergunta pede apenas a direção, outras vezes a direção normalizada é mais útil). O comprimento (norma) do gradiente é
\|\nabla E\|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
A direção unitária do maior aumento é, portanto,
\mathbf{u}=\frac{\nabla E}{\|\nabla E\|=\;5}=\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
A vantagem dessa representação: se eu me desloco uma unidade na direção \mathbf{u}, E aumenta exatamente em \|\nabla E\|=5 unidades (taxa máxima por unidade de deslocamento).

Passo 5

Comparações simples que ajudam na prova: a derivada direcional na direção dos eixos é
D_{(1,0)}E=\nabla E\cdot(1,0)=3, \qquad D_{(0,1)}E=\nabla E\cdot(0,1)=4.
Isso confirma que, por unidade de deslocamento, aumentar y eleva E mais do que aumentar x (porque 4>3). Também observe que, por E ser linear, o gradiente é constante em toda a região triangular — a direção de maior aumento não depende do ponto dentro do triângulo.

Passo 6

Interpretação final e conselho rápido: o modelo diz que a emissão cresce mais rapidamente na direção do vetor (3,4) (ou seja, na direção unitária \left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)). Em termos práticos e fácil de memorizar para a prova: o coeficiente de y é maior que o de x, então variações em y aumentam mais a emissão do que variações em x. Vai dar certo — decora o passo: “gradiente aponta para onde sobe mais rápido”.

Resposta

Na direção do vetor (3,4), ou seja na direção unitária \left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right).
A emissão aumenta mais com variações em y do que em x (coeficiente 4>3).

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