Uma industria emite poluentes cuja taxa de emissão superficial é dada por
na região triangular com vértices em
e
.
(b) O modelo sugere maior emissão em qual direção?
(b) O modelo sugere maior emissão em qual direção?
Passo 1
O enunciado dá a taxa de emissão superficial
na região triangular com vértices em
e
. A pergunta (b) é: “O modelo sugere maior emissão em qual direção?” — ou seja, em que direção no plano
a função
cresce mais rapidamente.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcule as derivadas parciais de
. As derivadas parciais medem a taxa de variação de
quando uma variável muda e a outra fica fixa. Formalmente:
Como
são termos lineares, as derivadas são imediatas:
Interpretação prática: se eu aumentar
em
unidade (mantendo
fixo),
aumenta em
unidades; se eu aumentar
em
unidade (mantendo
fixo),
aumenta em
unidades.
Passo 3
Definição e cálculo do gradiente. O gradiente de uma função escalares
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
O gradiente aponta na direção de maior crescimento da função e seu comprimento é a taxa máxima de crescimento por unidade de deslocamento. Para nosso
:
Passo 4
Normalizar o vetor para obter a direção unitária (às vezes a pergunta pede apenas a direção, outras vezes a direção normalizada é mais útil). O comprimento (norma) do gradiente é
A direção unitária do maior aumento é, portanto,
A vantagem dessa representação: se eu me desloco uma unidade na direção
,
aumenta exatamente em
unidades (taxa máxima por unidade de deslocamento).
Passo 5
Comparações simples que ajudam na prova: a derivada direcional na direção dos eixos é
Isso confirma que, por unidade de deslocamento, aumentar
eleva
mais do que aumentar
(porque
). Também observe que, por
ser linear, o gradiente é constante em toda a região triangular — a direção de maior aumento não depende do ponto dentro do triângulo.
Passo 6
Interpretação final e conselho rápido: o modelo diz que a emissão cresce mais rapidamente na direção do vetor
(ou seja, na direção unitária
). Em termos práticos e fácil de memorizar para a prova: o coeficiente de
é maior que o de
, então variações em
aumentam mais a emissão do que variações em
. Vai dar certo — decora o passo: “gradiente aponta para onde sobe mais rápido”.
Resposta
Na direção do vetor
, ou seja na direção unitária
.
A emissão aumenta mais com variações em do que em
(coeficiente
).
A emissão aumenta mais com variações em