A função densidade de probabilidade de X, que representa a vida útil de certo tipo de equipamento (em horas), é dada por
f(x)=cl 10x^2 & x>10 0 & x <= 10
(a) Qual é função distribuição acumulada de X ?
(b) Determine P(X>20).

Passo 1

O enunciado nos dá a função densidade de probabilidade de
Queremos (a) a função distribuição acumulada . Para isso vamos usar a definição

Passo 2

Para x<=10 temos f(t)=0 sempre que t<= x<=10. Logo,
F(x)=integral-infty^xf(t),dt = integral-infty^x0,dt = 0

Passo 3

Para x>10 dividimos a integral em duas partes:
F(x)=integral-infty^xf(t),dt = integral-infty^100,dt + integral10^x10t^2,dt = integral10^x10,t^-2,dt

Passo 4

Calculemos a integral
integral10^x10,t^-2,dt = 10integral10^xt^-2,dt = 10l[-t^-1r]10^x = 10l(-1x + 110r) = 1 - 10x
Portanto, para x>10
F(x)=1 - 10x

Passo 5

Reunindo os resultados, a função distribuição acumulada é
F(x)= 0, & x<=10, 1 - dfrac10x, & x>10

Passo 6

Para calcular P(X>20) usamos o complementar da CDF em x=20:
P(X>20)=1 - F(20) = 1 -l(1 - 1020r) = 1020 = tfrac12

Resposta

(a) F(x)= 0, & x<=10, 1 - dfrac10x, & x>10
(b) ;P(X>20)=tfrac12

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