Questão 31.
(Sheldon Ross) Um avião desapareceu e presume-se que seja igualmente provável que ele tenha caído em qualquer uma de 3 regiões possíveis. Suponha que
, representa a probabilidade de que o avião seja encontrado após uma busca na i-ésima região quando o avião está de fato naquela região (as constantes
são chamadas de probabilidades de negligência, porque elas representam a probabilidade de não se encontrar o avião; elas são em geral atribuídas às condições geográficas e ambientais da região). Qual a probabilidade de que o avião esteja na
-ésima região dado que a busca na região 1 tenha sido malsucedida?
Passo 1
O enunciado diz que o avião está igualmente provável em cada uma das três regiões, isto é,
para
. Se fizermos uma busca na região
e o avião realmente lá estiver, a chance de não encontrá-lo é
. Queremos usar o Teorema de Bayes para calcular
Para isso, vamos (i) determinar as probabilidades condicionais de falha de busca em 1 dado cada região e (ii) aplicar a lei da probabilidade total e Bayes.
Passo 2
Definimos o evento
. Calculamos
pois se o avião está em 2 ou 3 a busca em 1 jamais o encontra.
Passo 3
Pela lei da probabilidade total,
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema de Bayes:
Substituindo
e os valores de
calculados:
– Para
:
– Para
ou
: