Questão 31.
(Sheldon Ross) Um avião desapareceu e presume-se que seja igualmente provável que ele tenha caído em qualquer uma de 3 regiões possíveis. Suponha que 1-betai, i=1,2,3, representa a probabilidade de que o avião seja encontrado após uma busca na i-ésima região quando o avião está de fato naquela região (as constantes betai são chamadas de probabilidades de negligência, porque elas representam a probabilidade de não se encontrar o avião; elas são em geral atribuídas às condições geográficas e ambientais da região). Qual a probabilidade de que o avião esteja na i-ésima região dado que a busca na região 1 tenha sido malsucedida?

Passo 1

O enunciado diz que o avião está igualmente provável em cada uma das três regiões, isto é, Pr(Ri)=tfrac13 para i=1,2,3. Se fizermos uma busca na região i e o avião realmente lá estiver, a chance de não encontrá-lo é betai. Queremos usar o Teorema de Bayes para calcular
Prl(Ri mid busca em 1 malsucedidar)
Para isso, vamos (i) determinar as probabilidades condicionais de falha de busca em 1 dado cada região e (ii) aplicar a lei da probabilidade total e Bayes.

Passo 2

Definimos o evento A=busca na região 1 malsucedidaã. Calculamos
Pr(Amid R1)=beta1, Pr(Amid R2)=1, Pr(Amid R3)=1,
pois se o avião está em 2 ou 3 a busca em 1 jamais o encontra.

Passo 3

Pela lei da probabilidade total,
Pr(A) =sumj=1^3 Pr(Rj),Pr(Amid Rj) =tfrac13beta1+tfrac13cdot1+tfrac13cdot1 =beta1+23

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema de Bayes:
Pr(Rimid A) =Pr(Ri),Pr(Amid Ri)Pr(A)
Substituindo Pr(Ri)=tfrac13 e os valores de Pr(Amid Ri) calculados:
– Para i=1:
Pr(R1mid A) =tfrac13,beta1tfracbeta1+23 =beta1beta1+2
– Para i=2 ou i=3:
Pr(Rimid A) =tfrac13cdot1tfracbeta1+23 =1beta1+2

Resposta

Prl(R1mid busca 1 malsucedidar) =beta1beta1+2, Prl(R2mid busca 1 malsucedidar) =Prl(R3mid busca 1 malsucedidar) =1beta1+2

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