Seja X a demanda diária (em centenas de quilos) de um determinado produto. A função densidade de probabilidade de X é dada por
f(x)=cc 2 x3, & se 0 <= x<1 1-x3, & se 1 <= x <= 3 0, & se 0>x ou x>3
(a) Determine a função de distribuição acumulada.
(b) Qual a probabilidade que, em um dado dia, se venda mais de 100 kg ? E menos de 50 kg ?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos: a variável aleatória
O que pedem é (a) achar a função de distribuição acumulada (mais de ,kg) e (menos de ,kg).

Passo 2

Para x<0 não há probabilidade embaixo de zero, então
F(x)=0, x<0
Para 0<= x<1 integramos de 0 até x:
F(x)=integral0^x2t3,dt =[t^23]0^x =x^23

Passo 3

Em x=1 já temos
F(1)=1^23=13
Para 1<= x<=3 somamos essa parte até 1 com a integral de 1 até x:
integral1^xl(1-t3r),dt =l[t-t^26r]1^x =l(x-tfracx^26r)-l(1-tfrac16r) =6x-x^2-56
Logo, para 1<= x<=3,
F(x) =13+6x-x^2-56 =-x^2+6x-36

Passo 4

Depois de 3 já acumulamos toda a probabilidade, então
F(x)=1, x>3

Passo 5

Agora (b): vender mais de 100,kg significa X>1, então
P(X>1)=1-F(1)=1-13=23
Vender menos de 50,kg é X<0.5, então
P(X<0.5)=F(0.5)=(0.5)^23=0.253=112

Resposta

(a)
F(x)= 0, & x<0, x^23, & 0<= x<1, -x^2+6x-36, & 1<= x<=3, 1, & x>3
(b)
P(X>1)=23, P(X<0.5)=112

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