O tempo (em meses) entre a remissão de uma doença e a recidiva de 48 pacientes de uma determinada clínica médica foi registrado. Os dados ordenados são apresentados a seguir, separadamente para os sexos masculino (M) e feminino (F):
M 2 2 3 4 4 4 4 7 7 7 8 9
9 10 12 15 15 15 16 18 18 22 22 24
F 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7
7 7 8 8 8 8 10 10 11 11 12 18
(a) Calcule a média, o desvio-padrão, a mediana e o coeficiente de variação para cada sexo. Interprete.
(b) Repita os cálculos pedidos em (a) para todos os 48 pacientes. Compare com os resultados de (a).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) Para cada sexo (masculino e feminino) calcular: a média, o desvio-padrão, a mediana e o coeficiente de variação, e interpretar os resultados.
(b) Repetir (a) para todos os 48 pacientes juntos e comparar com (a).
Dados fornecidos (valores ordenados):
M (24 observações):
2,2,3,4,4,4,4,7,7,7,8,9,9,10,12,15,15,15,16,18,18,22,22,24
F (24 observações):
2,2,3,3,4,4,5,5,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8,10,10,11,11,12,18
Informações importantes extraídas dos dados: n_M=24, n_F=24, n_{total}=48.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Média (definição e aplicação para M).\n
A média de uma amostra é a soma das observações dividida pelo número de observações. Em símbolos:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde x_i são as observações e n é o tamanho da amostra.
Para os homens (M) somamos os 24 valores. Soma calculada:
\sum_{i=1}^{24} x_i^{(M)} = 257.
Logo a média é
\bar{x}_M=\frac{257}{24}= \frac{257}{24}\approx 10{,}708.
(Arredondei para três casas decimais.)

Passo 3

Desvio-padrão amostral (definição e aplicação para M).\n
Quando temos uma amostra e queremos medir a dispersão usamos o desvio-padrão amostral s, definido por
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
Uma forma prática para calcular é usar a identidade
\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2,
portanto
s^2=\frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1}.
Para M calculamos \sum x_i^2=3821 (soma dos quadrados das observações). Usando \bar{x}_M=257/24,
s_M^2=\frac{3821 - \dfrac{257^2}{24}}{23}=\frac{25655}{552}\approx 46{,}477,
portanto
s_M\approx \sqrt{46{,}477}\approx 6{,}818.
Expliquei: usamos n-1 no denominador porque é o desvio-padrão estimado pela amostra (viés corrigido).

Passo 4

Mediana (definição e cálculo para M).\n
A mediana é o valor central da amostra ordenada. Se n é par, a mediana é a média dos dois valores centrais (as posições n/2 e n/2+1).
Para M, n_M=24 (par). Os valores centrais são o 12^\text{o} e o 13^\text{o} da lista ordenada. Observando a lista (veja Passo 1), o 12^\text{o}=9 e o 13^\text{o}=9. Logo a mediana é
\text{mediana}_M=\frac{9+9}{2}=9.

Passo 5

Coeficiente de variação (definição e cálculo para M) e interpretação parcial.\n
O coeficiente de variação (CV) mede a dispersão relativa em relação à média e é definido por
\text{CV}=\frac{s}{\bar{x}}\times 100\%.
Para M:
\text{CV}_M=\frac{6{,}818}{10{,}708}\times 100\%\approx 63{,}7\%.
Interpretação rápida (prévia): a variabilidade absoluta (desvio) é aproximadamente 6{,}82 meses; em termos relativos, a dispersão é alta, cerca de 63{,}7\% da média.

Passo 6

Repetindo para F — média (definição aplicada).\n
Somando os valores femininos obtém-se
\sum_{i=1}^{24} x_i^{(F)} = 172.
Assim a média é
\bar{x}_F=\frac{172}{24}\approx 7{,}167.

Passo 7

Desvio-padrão amostral para F (cálculo detalhado).\n
Calculamos a soma dos quadrados para F: \sum x_i^2 =1542. Aplicando a fórmula:
s_F^2=\frac{1542 - \dfrac{172^2}{24}}{23}=\frac{1542 - 29584/24}{23}\approx 13{,}456,
portanto
s_F\approx \sqrt{13{,}456}\approx 3{,}668.

Passo 8

Mediana e CV para F.\n
Para F, n_F=24 (par). Os valores centrais são o 12^\text{o} e o 13^\text{o} da lista feminina, ambos iguais a 7. Logo
\text{mediana}_F=\frac{7+7}{2}=7.
Coeficiente de variação:
\text{CV}_F=\frac{3{,}668}{7{,}167}\times 100\%\approx 51{,}2\%.
Interpretação parcial: as mulheres têm média menor ( \approx 7{,}17 meses) e menor desvio absoluto ( \approx 3{,}67 meses). Em termos relativos, a dispersão também é menor (CV \approx 51{,}2\%) que a dos homens.

Passo 9

Cálculos para todos os 48 pacientes juntos: média, desvio, mediana e CV.\n
Somas combinadas:
\sum_{i=1}^{48} x_i = 257 + 172 = 429,
\sum_{i=1}^{48} x_i^2 = 3821 + 1542 = 5363.
Média total:
\bar{x}_{tot}=\frac{429}{48}= \frac{429}{48}=8{,}9375\approx 8{,}938.
Desvio-padrão amostral total:
s_{tot}^2=\frac{5363 - \dfrac{429^2}{48}}{47}=\frac{5363 - 184041/48}{47}\approx 32{,}533,
logo
s_{tot}\approx \sqrt{32{,}533}\approx 5{,}704.
Mediana total (procedimento): para n_{tot}=48 a mediana é a média dos 24^\text{o} e 25^\text{o} valores na ordenação global. Fazendo a mesclagem ordenada das duas amostras (veja Passo 1 para as listas) encontramos que o 24^\text{o} valor é 7 e o 25^\text{o} valor é 8. Portanto
\text{mediana}_{tot}=\frac{7+8}{2}=7{,}5.
Coeficiente de variação total:
\text{CV}_{tot}=\frac{5{,}704}{8{,}9375}\times 100\%\approx 63{,}8\%.

Passo 10

Comparação e interpretação final (sucinta e motivadora).\n
  • Médias: os homens têm média maior ( \approx 10{,}708) do que as mulheres ( \approx 7{,}167), ou seja, o tempo até recidiva tende a ser maior nos homens, segundo esta amostra.
  • Medianas: mediana M =9, mediana F =7. A mediana total =7{,}5, que fica entre as medianas dos sexos e é puxada para baixo pela maior concentração de valores baixos em F.
  • Dispersões: desvio absoluto s_M\approx 6{,}818 (maior) e s_F\approx 3{,}668 (menor). Ou seja, os tempos entre remissão e recidiva são mais heterogêneos entre os homens.
  • Dispersão relativa (CV): homens \approx 63{,}7\%, mulheres \approx 51{,}2\%, total \approx 63{,}8\%. Em termos relativos, os homens apresentam maior variabilidade que as mulheres; a variabilidade total é próxima à dos homens porque os tempos mais altos dos homens aumentam a dispersão total.
  • Conclusão prática: existe diferença entre sexos tanto na posição (média e mediana) quanto na dispersão. Essa conclusão é apenas descritiva; para afirmar diferença estatística seria necessário um teste apropriado (ex.: teste t, verificação de pressupostos), mas isso foge ao pedido.
Força aí — você já faz um resumo estatístico completo desses dados. Agora confira os números finais abaixo.

Resposta

M: \bar{x}_M=10{,}708,\; s_M=6{,}818,\; \text{mediana}_M=9,\; \text{CV}_M=63{,}7\%
F: \bar{x}_F=7{,}167,\; s_F=3{,}668,\; \text{mediana}_F=7,\; \text{CV}_F=51{,}2\%
Todos: \bar{x}_{tot}=8{,}938,\; s_{tot}=5{,}704,\; \text{mediana}_{tot}=7{,}5,\; \text{CV}_{tot}=63{,}8\%

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