A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X é dada por
f(x)= k x & se 0 <= x <= 2 0 & caso contrário á
b) Calcule P(|X| <= 12)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função densidade de probabilidade contínua para uma variável aleatória $ X $, dada por:
X á
Nosso objetivo é calcular a probabilidade $ P\left(|X| \leq \frac{1}{2}\right) $. Para isso, vamos usar conceitos de funções densidade de probabilidade e integração.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que $ |X| \leq \frac{1}{2} $ significa que $ X $ está entre $ -\frac{1}{2} $ e $ \frac{1}{2} $. Mas, olhando a definição da função $ f(x) $, vemos que $ X $ só pode assumir valores entre 0 e 2. Então, na verdade, $ P\left(|X| \leq \frac{1}{2}\right) $ é equivalente a $ P\left(0 \leq X \leq \frac{1}{2}\right) $.

Passo 3

Antes de calcular essa probabilidade, precisamos encontrar o valor da constante $ k $. Sabemos que a integral da função densidade de probabilidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1:
k
Vamos resolver essa integral:
integral0^2 kx , dx = 1
Portanto, $ k = \frac{1}{2} $.

Passo 4

Agora que temos $ k = \frac{1}{2} $, podemos calcular a probabilidade $ P\left(0 \leq X \leq \frac{1}{2}\right) $ integrando a função densidade nesse intervalo:
k = 12
Vamos resolver essa integral:
P(0 <= X <= 12)

Resposta

A probabilidade $ P\left(|X| \leq \frac{1}{2}\right) $ é igual a $ \frac{1}{16} $.

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