A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua
é dada por
b) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função densidade de probabilidade contínua para uma variável aleatória $ X $, dada por:
Nosso objetivo é calcular a probabilidade $ P\left(|X| \leq \frac{1}{2}\right) $. Para isso, vamos usar conceitos de funções densidade de probabilidade e integração.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que $ |X| \leq \frac{1}{2} $ significa que $ X $ está entre $ -\frac{1}{2} $ e $ \frac{1}{2} $. Mas, olhando a definição da função $ f(x) $, vemos que $ X $ só pode assumir valores entre 0 e 2. Então, na verdade, $ P\left(|X| \leq \frac{1}{2}\right) $ é equivalente a $ P\left(0 \leq X \leq \frac{1}{2}\right) $.
Passo 3
Antes de calcular essa probabilidade, precisamos encontrar o valor da constante $ k $. Sabemos que a integral da função densidade de probabilidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1:
Vamos resolver essa integral:
Portanto, $ k = \frac{1}{2} $.
Passo 4
Agora que temos $ k = \frac{1}{2} $, podemos calcular a probabilidade $ P\left(0 \leq X \leq \frac{1}{2}\right) $ integrando a função densidade nesse intervalo:
Vamos resolver essa integral:
Resposta
A probabilidade $ P\left(|X| \leq \frac{1}{2}\right) $ é igual a $ \frac{1}{16} $.