Dada a variável aleatória X, uniforme em (5,10), calcule as probabilidades abaixo:
a) P(X<7)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que é distribuída de forma uniforme no intervalo X . O exercício pede para calcular a probabilidade de $ X $ ser menor que 7, ou seja, $ P(X < 7) $. Vamos usar conceitos de distribuição uniforme para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição uniforme. Quando uma variável aleatória é uniforme no intervalo (a, b), isso significa que todos os valores dentro desse intervalo têm a mesma chance de ocorrer. A função de densidade de probabilidade (PDF) para uma distribuição uniforme é dada por:
f(x) = 1b - a, para a <= x <= b
E a função de distribuição acumulada (CDF), que nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor $ x $, é:
X

Passo 3

No nosso caso, os limites da distribuição são $ a = 5 $ e $ b = 10 $. Queremos encontrar $ P(X < 7) $. Como 7 está dentro do intervalo a = 5 , podemos aplicar a fórmula da CDF que vimos.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
P(X < 7) = 7 - 510 - 5 = 25 = 0,4

Resposta

A probabilidade de $ X $ ser menor que 7 é 0,4 ou 40%.

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