Dada a variável aleatória
, uniforme em
, calcule as probabilidades abaixo:
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma variável aleatória $ X $ que é distribuída de forma uniforme no intervalo
. O exercício pede para calcular a probabilidade de $ X $ ser menor que 7, ou seja, $ P(X < 7) $. Vamos usar conceitos de distribuição uniforme para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma distribuição uniforme. Quando uma variável aleatória é uniforme no intervalo
, isso significa que todos os valores dentro desse intervalo têm a mesma chance de ocorrer. A função de densidade de probabilidade (PDF) para uma distribuição uniforme é dada por:
E a função de distribuição acumulada (CDF), que nos dá a probabilidade de $ X $ ser menor ou igual a um certo valor $ x $, é:
Passo 3
No nosso caso, os limites da distribuição são $ a = 5 $ e $ b = 10 $. Queremos encontrar $ P(X < 7) $. Como 7 está dentro do intervalo
, podemos aplicar a fórmula da CDF que vimos.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Resposta
A probabilidade de $ X $ ser menor que 7 é 0,4 ou 40%.