A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória que representa a vida útil de certo tipo de equipamento eletrônico, é dada por
Encontre a função de distribuição acumulada e calcule .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a densidade de probabilidade de é
(tá escrito “” mas isso vem no denominador, ou seja ).
O que a gente precisa fazer?
Conteúdo: densidade, distribuição acumulada (CDF) e cálculo de probabilidade via integração.
Vamos usar a definição
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a CDF em pedaços. A lógica é:
Se , a densidade é zero antes de 10, então .
Se , a densidade é constante desde 10 até .
Como precisa integrar até o máximo onde faz sentido—neste caso, a densidade vale pra todo , mas para ser distribuição válida a gente “fecha” em 1 quando . Note que só dá 1 se considerarmos que o suporte vai até . Então, indiretamente, estamos assumindo suporte .
Passo 3
Agora a gente monta direitinho a função acumulada:
Para F(x)=0 :
F(x) =integral10^x120,dt =x-1020
Para F(x)=1, :
E para :
porque já “consumimos” toda a probabilidade.
Passo 4
Faltou ver F(20)=20-1020=1020=0,5 . É só usar . Como está entre 10 e 30, usamos