A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória X que representa a vida útil de certo tipo de equipamento eletrônico, é dada por
f(x)=c (c 10 times 2, se x >= 10 0, caso contrário á
Encontre a função de distribuição acumulada e calcule P(X <= 20).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a densidade de probabilidade de f(x)= dfrac110times2,& x>=10,[6pt] 0,&caso contrário é
F(x)=P(X<= x)=integral-infty^xf(t),dt á
(tá escrito “ ” mas isso vem no denominador, ou seja ).
O que a gente precisa fazer?
Conteúdo: densidade, distribuição acumulada (CDF) e cálculo de probabilidade via integração.
Vamos usar a definição

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a CDF em pedaços. A lógica é:
  1. Se , a densidade é zero antes de 10, então .
  2. Se , a densidade é constante desde 10 até .
  3. Como precisa integrar até o máximo onde faz sentido—neste caso, a densidade vale pra todo , mas para ser distribuição válida a gente “fecha” em 1 quando . Note que só dá 1 se considerarmos que o suporte vai até . Então, indiretamente, estamos assumindo suporte .

Passo 3

Agora a gente monta direitinho a função acumulada:
Para F(x)=0 :
F(x) =integral10^x120,dt =x-1020
Para F(x)=1, :
E para :
porque já “consumimos” toda a probabilidade.

Passo 4

Faltou ver F(20)=20-1020=1020=0,5 . É só usar . Como está entre 10 e 30, usamos

Resposta

A função de distribuição acumulada é
F(x)= 0,&x<10,[4pt] dfracx-1020,&10<= x<=30,[4pt] 1,&x>30,
e
P(X<=20)=0,5

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