Suponha que uma variável aleatória X seja tal que R X=1,2,3, ldots e P(X =i)=1 / 2 i para todo i in R X.
Prove que de fato P(X=i)=1 / 2 i define uma função de probabilidade;

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória discreta X que só toma valores em RX = {1,2,3,…} e que
P(X = i) ;=;12^i, i=1,2,3,dots
O conteúdo aqui é distribuição de probabilidade discreta e soma de séries infinitas (série geométrica).
O que precisamos provar é que isso realmente define uma função de probabilidade, ou seja:
  1. Para todo i, .
  2. A soma de todas elas vale 1: .

Passo 2

Primeiro, não-negatividade.
Como 12^i para todo P(X=i)=12^i>=0, a fração
é sempre positiva. Logo
Isso já satisfaz a primeira condição de uma função de probabilidade.

Passo 3

Agora, a soma de todas as probabilidades. A gente precisa calcular
sumi=1^inftyP(X=i);=;sumi=1^infty12^i
Aqui entra a teoria da série geométrica: se sumk=0^inftyr^k=11-r, então
sumi=1^inftyl(tfrac12r)^i ;=;sumk=0^inftyl(tfrac12r)^k+1 ;=;tfrac12sumk=0^inftyl(tfrac12r)^k
No nosso caso queremos sumk=0^inftyl(tfrac12r)^k=11-tfrac12=2. Note que
sumi=1^infty12^i =12;times;2 =1
Pela fórmula da série geométrica com :
Então
Isso mostra que a soma das probabilidades é exatamente 1.

Resposta

Como e , concluímos que satisfaz todas as condições de uma função de probabilidade.

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