Suponha que uma variável aleatória
seja tal que
e
i para todo
.
Prove que de fato
i define uma função de probabilidade;
Prove que de fato
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma variável aleatória discreta X que só toma valores em RX = {1,2,3,…} e que
O conteúdo aqui é distribuição de probabilidade discreta e soma de séries infinitas (série geométrica).
O que precisamos provar é que isso realmente define uma função de probabilidade, ou seja:
O que precisamos provar é que isso realmente define uma função de probabilidade, ou seja:
- Para todo i,
. - A soma de todas elas vale 1:
.
Passo 2
Primeiro, não-negatividade.
Como para todo
, a fração
Como
é sempre positiva. Logo
Isso já satisfaz a primeira condição de uma função de probabilidade.
Passo 3
Agora, a soma de todas as probabilidades. A gente precisa calcular
Aqui entra a teoria da série geométrica: se
, então
No nosso caso queremos
. Note que
Pela fórmula da série geométrica com
:
Então
Isso mostra que a soma das probabilidades é exatamente 1.
Resposta
Como
e
, concluímos que
satisfaz todas as condições de uma função de probabilidade.