O diâmetro X de um cabo elétrico supõe-se ser uma variável aleatória de fdp
f(x)=c (6 x(1-x), se x in[0,1] 0, caso contrário á
Verifique que de fato essa função define uma fdp e depois encontre a função de distribuição acumulada de X.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o diâmetro f(x)= 6x(1-x),& xin[0,1], 0,&caso contrário de um cabo tem densidade
á
A matéria aqui é variável aleatória contínua: a gente precisa (1) mostrar que isso é de fato uma fdp (função densidade de probabilidade) e (2) encontrar a CDF . Para isso vamos usar duas ideias básicas:
  1. Uma fdp deve ser não-negativa e integrar 1 em todo o domínio.
  2. A CDF é a integral da fdp de até .

Passo 2

Verificando que integral-infty^inftyf(x),dx =integral0^16x(1-x),dx =integral0^1(6x-6x^2),dx é uma fdp:
  1. Não-negatividade: para integral0^16x,dx=6cdotx^22|0^1=3, integral0^16x^2,dx=6cdotx^33|0^1=2, , temos e , logo . Fora de , , então beleza.
  2. Integral vale 1:
Calculemos:
então . Pronto, integra 1.

Passo 3

Agora a CDF F(x)=integral0^x6t(1-t),dt =6integral0^x(t-t^2),dt =6l[tfract^22-tfract^33r]0^x =6l(tfracx^22-tfracx^33r) =3x^2-2x^3 . Isso se traduz em três casos:
  • Se , porque a densidade só “vive” em .
  • Se , (já acumulou toda a probabilidade).
  • Se ,

Resposta

A função F(x)= 0,&x<0, 3x^2-2x^3,&0<= x<=1, 1,&x>1 é uma fdp válida e a CDF de é

Exercícios relacionados