O diâmetro de um cabo elétrico supõe-se ser uma variável aleatória de fdp
Verifique que de fato essa função define uma fdp e depois encontre a função de distribuição acumulada de .
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que o diâmetro de um cabo tem densidade
A matéria aqui é variável aleatória contínua: a gente precisa (1) mostrar que isso é de fato uma fdp (função densidade de probabilidade) e (2) encontrar a CDF . Para isso vamos usar duas ideias básicas:
Uma fdp deve ser não-negativa e integrar 1 em todo o domínio.
A CDF é a integral da fdp de até .
Passo 2
Verificando que é uma fdp:
Não-negatividade: para , temos e , logo . Fora de , , então beleza.
Integral vale 1:
Calculemos:
então . Pronto, integra 1.
Passo 3
Agora a CDF F(x)=integral0^x6t(1-t),dt =6integral0^x(t-t^2),dt =6l[tfract^22-tfract^33r]0^x =6l(tfracx^22-tfracx^33r) =3x^2-2x^3 . Isso se traduz em três casos:
Se , porque a densidade só “vive” em .
Se , (já acumulou toda a probabilidade).
Se ,
Resposta
A função F(x)= 0,&x<0, 3x^2-2x^3,&0<= x<=1, 1,&x>1 é uma fdp válida e a CDF de é