Seja
, em que
. A soma dos valores de
, para os quais a reta
é tangente ao gráfico de
, é:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = x^{3} - 3x + k $ e queremos descobrir quais valores de $ k $ fazem com que a reta $ y = 5 $ seja tangente ao gráfico dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas para encontrar pontos de tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a reta $ y = 5 $ ser tangente ao gráfico de $ f(x) $. Isso quer dizer que a reta toca o gráfico de $ f(x) $ em exatamente um ponto. Matematicamente, isso acontece quando a equação $ f(x) = 5 $ tem exatamente uma solução. Então, vamos igualar $ f(x) $ a 5:
Passo 3
Agora, vamos arrumar essa equação para facilitar o trabalho:
Queremos que essa equação tenha uma única solução real, ou seja, que o gráfico da função curta a reta exatamente uma vez. Para isso, vamos analisar a derivada de $ f(x) $ para encontrar os pontos críticos.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de $ f(x) $:
Os pontos onde $ f’(x) = 0 $ são os pontos onde a inclinação da curva é zero, ou seja, possíveis máximos ou mínimos locais.
Passo 5
Vamos resolver $ f’(x) = 0 $:
Então, os pontos críticos estão em $ x = 1 $ e $ x = -1 $.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os valores de $ f(x) $ nesses pontos para identificar os valores máximos e mínimos da função:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = -1 $:
Passo 7
Para que a reta $ y = 5 $ seja tangente ao gráfico de $ f(x) $, ela deve coincidir com um dos valores máximos ou mínimos da função. Então, vamos igualar $ f(1) $ e $ f(-1) $ a 5:
Passo 8
Resolvendo as duas equações:
Para $ k - 2 = 5 $:
Para $ k + 2 = 5 $:
Resposta
A soma dos valores de $ k $ é $ 7 + 3 = 10 $.