Encontre um intervalo de comprimento no máximo 1 de forma que
tenha uma raiz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar um intervalo de comprimento no máximo 1 onde a função $ f(x) = (x^{3} - 2x + 1) \sqrt{x^{4} + 3x^{2} + 4} $ tem uma raiz. Vamos precisar usar o Teorema do Valor Intermediário, que garante que, se uma função contínua muda de sinal em um intervalo, ela tem pelo menos uma raiz lá dentro. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ f(x) = (x^{3} - 2x + 1) \sqrt{x^{4} + 3x^{2} + 4} $. A parte $ \sqrt{x^{4} + 3x^{2} + 4} $ sempre é positiva porque a expressão dentro da raiz nunca é negativa (soma de termos positivos). Então, para encontrar quando $ f(x) = 0 $, basta resolver $ x^{3} - 2x + 1 = 0 $.
Passo 3
Vamos resolver a equação cúbica $ x^{3} - 2x + 1 = 0 $. Vamos tentar encontrar as raízes racionais possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. Testando $ x = 1 $:
Legal, $ x = 1 $ é uma raiz! Agora, vamos fatorar a equação:
Agora, resolvemos $ x^{2} + x - 1 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Passo 4
Agora que temos as raízes aproximadas $ x \approx -1,618 $, $ x \approx 0,618 $ e $ x = 1 $, vamos procurar intervalos de comprimento no máximo 1 que contenham uma dessas raízes. Vamos olhar para os intervalos entre essas raízes:
- Entre $ -2 $ e $ -1 $ (comprimento 1): $ f(-2) $ e $ f(-1) $
- Entre $ 0 $ e $ 1 $ (comprimento 1): $ f(0) $ e $ f(1) $
Passo 5
Vamos calcular $ f(x) $ nesses pontos para verificar a troca de sinal:
-
Intervalo
: - $ f(-2) = ((-2)^3 - 2(-2) + 1) \sqrt{(-2)^4 + 3(-2)^2 + 4} = (-8 + 4 + 1) \sqrt{16 + 12 + 4} = (-3)(\sqrt{32}) < 0 $
- $ f(-1) = ((-1)^3 - 2(-1) + 1) \sqrt{(-1)^4 + 3(-1)^2 + 4} = (-1 + 2 + 1) \sqrt{1 + 3 + 4} = (2)(\sqrt{8}) > 0 $
- Sinal muda de negativo para positivo.
-
Intervalo
: - $ f(0) = (0 - 0 + 1) \sqrt{0 + 0 + 4} = 1 \times 2 = 2 > 0 $
- $ f(1) = (1 - 2 + 1) \sqrt{1 + 3 + 4} = 0 \times \sqrt{8} = 0 $
- Chega a zero, então já tem uma raiz aqui.
Resposta
Um intervalo que satisfaz é
, pois $ f(-2) < 0 $ e $ f(-1) > 0 $, garantindo uma raiz dentro desse intervalo.