Sobre uma função diferenciável f(x, y), sabe-se que
Du f(1,0)=4 a^2 b-3 a+4 b^3
para todo vetor unitário u=(a, b). Determine:
(1, 0) vetores unitários u1 e u2 para os quais a derivada direcional é nula.

Passo 1

O enunciado dá que a derivada direcional de uma função diferenciável f(x,y) em (1,0) para qualquer vetor unitário vec u=(a,b) é
Dvec uf(1,0)=4a^2b - 3a + 4b^3
Nosso objetivo é achar vetores unitários (a,b) tais que Dvec uf(1,0)=0.

Passo 2

Como vec u é unitário, vale a^2 + b^2 = 1. Então podemos simplificar o termo cúbico:
4a^2b + 4b^3 = 4b,(a^2 + b^2) = 4b
Dessa forma
Dvec uf(1,0) = 4b - 3a

Passo 3

Impondo Dvec uf(1,0)=0, temos
4b - 3a = 0
e também
a^2 + b^2 = 1
Da primeira equação segue b = tfrac34a. Substituindo na segunda, a^2 + (tfrac34a)^2 = 1 leva a a = pm tfrac45 e então b = pm tfrac35.

Resposta

(4/5,,3/5) e (-4/5,,-3/5)

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