Sobre uma função diferenciável f(x, y), sabe-se que
Du f(1,0)=4 a^2 b-3 a+4 b^3
para todo vetor unitário u=(a, b). Determine:
(1, 0) vetores unitários v1 e v2 para os quais a derivada direcional é máxima e mínima, respectivamente.

Passo 1

Temos uma função diferenciável f(x,y) e sabemos que para qualquer vetor unitário vec u=(a,b) a derivada direcional em (1,0) é
Dvec uf(1,0)=4a^2b-3a+4b^3
Vamos encontrar, entre esses vetores unitários, onde essa derivada é máxima e mínima.

Passo 2

Para um vetor unitário vec u=(a,b) a derivada direcional é dada pela função
E(a,b)=4a^2b-3a+4b^3
com a restrição
a^2+b^2=1
Para achar extremos de E no círculo, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 3

Construímos a função de Lagrange
L(a,b,lambda)=4a^2b-3a+4b^3-lambda(a^2+b^2-1)
As condições de ótimo exigem
partialLpartial a=8ab-3-2lambda a=0,
partialLpartial b=4a^2+12b^2-2lambda b=0,
partialLpartiallambda=a^2+b^2-1=0

Passo 4

Das duas primeiras equações isolamos lambda:
8ab-3=2lambda aimplieslambda=4b-32a,
4a^2+12b^2=2lambda bimplieslambda=2a^2b+6b
Igualando as expressões e usando a^2+b^2=1 obtemos
4a+3b=0

Passo 5

A relação 4a+3b=0 com a^2+b^2=1 implica
b=-tfrac43a,
a^2+tfrac169a^2=1implies a=pmtfrac35, b=mptfrac45

Passo 6

Agora avaliamos E nesses candidatos. Para (a,b)=(tfrac35,-tfrac45) vem E=-5 e para (a,b)=(-tfrac35,tfrac45) vem E=5.

Passo 7

Logo a derivada direcional é máxima em overrightarrow v1=(-tfrac35,tfrac45) e mínima em

Resposta

overrightarrow v1=(-tfrac35,tfrac45) e overrightarrow v2=(tfrac35,-tfrac45).

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