Sobre uma função diferenciável
, sabe-se que
para todo vetor unitário
. Determine:
vetores unitários
e
v2 para os quais a derivada direcional é máxima e mínima, respectivamente.
Passo 1
Temos uma função diferenciável
f(x,y) e sabemos que para qualquer vetor unitário
vec u=(a,b) a derivada direcional em
(1,0) é
Vamos encontrar, entre esses vetores unitários, onde essa derivada é máxima e mínima.
Passo 2
Para um vetor unitário
vec u=(a,b) a derivada direcional é dada pela função
com a restrição
Para achar extremos de
E no círculo, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 3
Construímos a função de Lagrange
As condições de ótimo exigem
Passo 4
Das duas primeiras equações isolamos
lambda :
Igualando as expressões e usando
Passo 5
A relação
4a+3b=0 com
a^2+b^2=1 implica
Passo 6
Agora avaliamos
E nesses candidatos. Para
(a,b)=(tfrac35,-tfrac45) vem
E=-5 e para
(a,b)=(-tfrac35,tfrac45) vem
E=5 .
Passo 7
Logo a derivada direcional é máxima em
overrightarrow v1=(-tfrac35,tfrac45) e mínima em