Uma função
se diz homogênea de grau
se verifica que
. Mostre que as seguintes funções são homogêneas:
,
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função f(x,y)=x²+y²–x y satisfaz f(t x,t y)=tⁿ f(x,y) para algum n, isto é, que f é homogênea de grau n.
Passo 2
Pela definição, substituímos x→t x e y→t y:
Ao desenvolver cada termo:
Comparando com f(x,y)=x²+y²–x y vemos que f(t x,t y)=t² f(x,y), logo o grau de homogeneidade é n=2.
Resposta
A função f(x,y)=x²+y²–x y é homogênea de grau 2.