Uma função f(x, y) se diz homogênea de grau n se verifica que f(t x, t y)=t^n f(x, y). Mostre que as seguintes funções são homogêneas:
f(x, y)=x^2+y^2-x y,

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função f(x,y)=x²+y²–x y satisfaz f(t x,t y)=tⁿ f(x,y) para algum n, isto é, que f é homogênea de grau n.

Passo 2

Pela definição, substituímos x→t x e y→t y:
f(t x,t y)=(t x)^2+(t y)^2-(t x)(t y)
Ao desenvolver cada termo:
f(t x,t y)=t^2x^2+t^2y^2-t^2x y=t^2(x^2+y^2-x y)
Comparando com f(x,y)=x²+y²–x y vemos que f(t x,t y)=t² f(x,y), logo o grau de homogeneidade é n=2.

Resposta

A função f(x,y)=x²+y²–x y é homogênea de grau 2.

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