Uma função de duas variáveis é dita harmônica se satisfaz a equação partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2=0. Mostre que a função u(x, y)= e^x seny +e^y cos x é uma função harmônica.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções harmônicas, que são funções de duas variáveis que satisfazem a equação partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0. Para mostrar que a função u(x, y) = e^x sin y + e^y cos x é harmônica, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a x e y, e depois somá-las para ver se dá zero.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de u em relação a x.
A função dada é:
u(x, y) = e^x sin y + e^y cos x
Vamos derivar u em relação a x:
partial upartial x = partialpartial x (e^x sin y) + partialpartial x (e^y cos x)
= e^x sin y - e^y sin x
Agora, vamos derivar novamente em relação a x para obter a segunda derivada:
partial^2 upartial x^2 = partialpartial x (e^x sin y - e^y sin x)
= e^x sin y - e^y cos x

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de u em relação a y.
Primeiro, a primeira derivada em relação a y:
partial upartial y = partialpartial y (e^x sin y) + partialpartial y (e^y cos x)
= e^x cos y + e^y cos x
Em seguida, a segunda derivada em relação a y:
partial^2 upartial y^2 = partialpartial y (e^x cos y + e^y cos x)
= -e^x sin y + e^y cos x

Passo 4

Agora, vamos somar as duas segundas derivadas que calculamos:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = (e^x sin y - e^y cos x) + (-e^x sin y + e^y cos x)
Observando os termos:
e^x sin y - e^y cos x - e^x sin y + e^y cos x = 0

Resposta

Como a soma das segundas derivadas é zero, ou seja, partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0, concluímos que a função u(x, y) = e^x sin y + e^y cos x é uma função harmônica.

Exercícios relacionados