Uma função de duas variáveis é dita harmônica se satisfaz a equação
. Mostre que a função
seny
é uma função harmônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre funções harmônicas, que são funções de duas variáveis que satisfazem a equação
. Para mostrar que a função
é harmônica, vamos precisar calcular as derivadas parciais de segunda ordem em relação a
e
, e depois somá-las para ver se dá zero.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
.
A função dada é:
Vamos derivar
em relação a
:
Agora, vamos derivar novamente em relação a
para obter a segunda derivada:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
.
Primeiro, a primeira derivada em relação a
:
Em seguida, a segunda derivada em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos somar as duas segundas derivadas que calculamos:
Observando os termos:
Resposta
Como a soma das segundas derivadas é zero, ou seja,
, concluímos que a função
é uma função harmônica.