Seja o campo vetorial F(x, y)=(-y^3, x^3). Use o Teorema de Green para calcular a integral desse campo ao longo da curva fechada C, que é a circunferência de raio 1 centrada na origem e percorrida nu sentido anti-horário.

Passo 1

Temos o campo vetorial F(x,y)=(-y^3,,x^3) e queremos calcular a integral de linha ointC P,dx + Q,dy na circunferência unitária C (raio 1, centro na origem) aplicada no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green.

Passo 2

Identificamos as componentes: P(x,y)=-y^3 e Q(x,y)=x^3. Calculamos as derivadas parciais necessárias ao Teorema de Green: partial Qpartial x=3x^2 e partial Ppartial y=-3y^2.

Passo 3

O integrando do Teorema de Green é partial Q/partial x - partial P/partial y:
partial Qpartial x-partial Ppartial y=3x^2 -(-3y^2)=3(x^2+y^2)
Portanto,
ointC P,dx+Q,dy=integral duplaD3(x^2+y^2),dA,onde D é o disco de raio 1.

Passo 4

Para avaliar a integral dupla, mudamos para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta, x^2+y^2=r^2 e dA=r,dr,dtheta. O domínio fica 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi. Assim,
integral duplaD3(x^2+y^2),dA=3integral0^2piintegral0^1r^2cdot r,dr,dtheta=3integral0^2piintegral0^1r^3,dr,dtheta

Passo 5

Calculamos a parte radial e a angular separadamente:
integral0^1r^3,dr=14,
integral0^2pidtheta=2piMultiplicando tudo: 3timestfrac14times2pi=tfrac3pi2

Resposta

3pi2

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