Seja o campo vetorial
. Use o Teorema de Green para calcular a integral desse campo ao longo da curva fechada
, que é a circunferência de raio 1 centrada na origem e percorrida nu sentido anti-horário.
Passo 1
Temos o campo vetorial
e queremos calcular a integral de linha
na circunferência unitária
(raio 1, centro na origem) aplicada no sentido anti-horário. Vamos usar o Teorema de Green.
Passo 2
Identificamos as componentes:
e
. Calculamos as derivadas parciais necessárias ao Teorema de Green:
e
.
Passo 3
O integrando do Teorema de Green é
:
Portanto,
Passo 4
Para avaliar a integral dupla, mudamos para coordenadas polares:
,
,
e
. O domínio fica
e
. Assim,
Passo 5
Calculamos a parte radial e a angular separadamente: