Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
d) integral1^cos (x)(t+cos (t)) d t

Passo 1

Estamos lidando com a função definida por integral \ $F(x)=\int_{1}^{\cos(x)}(t+\cos(t)),dt\$. O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) juntamente com a regra da cadeia para derivadas de limites dependentes de $x\$.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo parte 2 afirma que, se \ $F(x)=\int_{a}^{g(x)}f(t),dt\$, então \ $F’(x)=f(g(x))\cdot g’(x)\$. Aqui precisamos ainda aplicar a regra da cadeia porque o limite superior depende de $x\$.

Passo 3

Identificamos $f(t)=t+\cos(t)\$ e $g(x)=\cos(x)\$. Calculamos a derivada de $g(x)\$: \ $g’(x)=\dfrac{d}{dx}[\cos(x)]=-\sin(x)\$.

Passo 4

Aplicando a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo com regra da cadeia, temos: \ $ F'(x)=f(g(x))cdot g'(x)=(g(x)+cos(g(x)))cdot g'(x)

Passo 5

Substituindo $g(x)=\cos(x)\$ e $g’(x)=-\sin(x)\$, obtemos: \ $ g(x)=cos(x)

Resposta

-(\cos(x)+\cos(\cos(x))),\sin(x)

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