Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
d)
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Passo 1
Estamos lidando com a função definida por integral \ $F(x)=\int_{1}^{\cos(x)}(t+\cos(t)),dt\$. O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) juntamente com a regra da cadeia para derivadas de limites dependentes de $x\$.
Passo 2
O Teorema Fundamental do Cálculo parte 2 afirma que, se \ $F(x)=\int_{a}^{g(x)}f(t),dt\$, então \ $F’(x)=f(g(x))\cdot g’(x)\$. Aqui precisamos ainda aplicar a regra da cadeia porque o limite superior depende de $x\$.
Passo 3
Identificamos $f(t)=t+\cos(t)\$ e $g(x)=\cos(x)\$. Calculamos a derivada de $g(x)\$: \ $g’(x)=\dfrac{d}{dx}[\cos(x)]=-\sin(x)\$.
Passo 4
Aplicando a fórmula do Teorema Fundamental do Cálculo com regra da cadeia, temos: \ $
Passo 5
Substituindo $g(x)=\cos(x)\$ e $g’(x)=-\sin(x)\$, obtemos: \ $
Resposta
-(\cos(x)+\cos(\cos(x))),\sin(x)