Verifique se B é subanel de A. \mathrm{B}=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & c \\\ b & 0\end{array}\right)\right\} , \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathbb{R}, \mathrm{A}=\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})
Passo 1
O que o problema pede: verificar se B é subanel de A.
Informações dadas:
B=\left\{\begin{pmatrix}a & c\\[4pt] b & 0\end{pmatrix}\;\middle|\; a,b,c\in\mathbb{R}\right\}, \qquad A=M_2(\mathbb{R}).
Ou seja, B é o conjunto de todas as matrizes 2\times2 reais cuja entrada no canto inferior direito é 0.]
Passo 2
O que significa ser subanel (definição que vamos usar): um subconjunto S de um anel R é subanel se, com as mesmas operações de R,
S não é vazio;
S é fechado sob subtração (ou equivalentemente fechado sob adição e contém inversos aditivos);
S é fechado sob multiplicação.
Explicação rápida e didática: fechar sob subtração significa que, para quaisquer x,y\in S, temos x-y\in S. Fechar sob multiplicação significa que, para quaisquer x,y\in S, temos xy\in S. Se essas propriedades valem, S herda o zero e as propriedades aditivas do anel maior e é, portanto, um anel por si só.
Passo 3
Verificamos se B é não vazio. Basta mostrar que a matriz nula pertence a B. Tomando a=0,b=0,c=0 obtemos
\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\in B.
Repare que a entrada inferior direita é \;b_1c_2\;. Para que M_1M_2 pertença a B é necessário que essa entrada seja 0. Ou seja, precisaríamos ter b_1c_2=0 para todo b_1,c_2\in\mathbb{R}, o que não é verdade em geral.]
Passo 6
Fornecemos um contraexemplo explícito para mostrar que B não é fechado sob multiplicação. Considere a matriz
M=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Aqui a=0,b=1,c=1, logo M\in B. Multiplicando M por ela mesma:
A matriz identidade I_2 tem entrada inferior direita igual a 1, não 0; logo I_2\notin B. Assim M\in B e M\cdot M\notin B, o que prova que B não é fechado sob multiplicação.]
Passo 7
Conclusão: como B falha em ser fechado sob multiplicação, ele não satisfaz todas as condições para ser um subanel de A. (Observação adicional: disso também segue que B não contém o elemento unidade I_2 de A.)