Verifique se B é subanel de A.
\mathrm{B}=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & c \\\ b & 0\end{array}\right)\right\} , \mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c} \in \mathbb{R}, \mathrm{A}=\mathrm{M}_{2}(\mathbb{R})

Passo 1

O que o problema pede: verificar se B é subanel de A.
Informações dadas:
B=\left\{\begin{pmatrix}a & c\\[4pt] b & 0\end{pmatrix}\;\middle|\; a,b,c\in\mathbb{R}\right\}, \qquad A=M_2(\mathbb{R}).
Ou seja, B é o conjunto de todas as matrizes 2\times2 reais cuja entrada no canto inferior direito é 0.]

Passo 2

O que significa ser subanel (definição que vamos usar): um subconjunto S de um anel R é subanel se, com as mesmas operações de R,
  1. S não é vazio;
  2. S é fechado sob subtração (ou equivalentemente fechado sob adição e contém inversos aditivos);
  3. S é fechado sob multiplicação.
Explicação rápida e didática: fechar sob subtração significa que, para quaisquer x,y\in S, temos x-y\in S. Fechar sob multiplicação significa que, para quaisquer x,y\in S, temos xy\in S. Se essas propriedades valem, S herda o zero e as propriedades aditivas do anel maior e é, portanto, um anel por si só.

Passo 3

Verificamos se B é não vazio. Basta mostrar que a matriz nula pertence a B. Tomando a=0,b=0,c=0 obtemos
\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}\in B.
Logo B é não vazio.]

Passo 4

Verificamos fechamento sob subtração. Seja
M_1=\begin{pmatrix}a_1 & c_1\\[4pt] b_1 & 0\end{pmatrix},\qquad M_2=\begin{pmatrix}a_2 & c_2\\[4pt] b_2 & 0\end{pmatrix},
com a_i,b_i,c_i\in\mathbb{R}. Então
M_1-M_2=\begin{pmatrix}a_1-a_2 & c_1-c_2\\[4pt] b_1-b_2 & 0-0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a_1-a_2 & c_1-c_2\\[4pt] b_1-b_2 & 0\end{pmatrix}.
A entrada inferior direita continua 0, e os outros coeficientes são reais. Portanto M_1-M_2\in B. Conclusão: B é fechado sob subtração.]

Passo 5

Agora testamos fechamento sob multiplicação. Multiplicamos duas matrizes genéricas de B:
M_1M_2 =\begin{pmatrix}a_1 & c_1\\[4pt] b_1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_2 & c_2\\[4pt] b_2 & 0\end{pmatrix}.
Calculamos cada entrada (fazendo a multiplicação de matrizes passo a passo):
(M_1M_2)_{11}=a_1a_2+c_1b_2,
(M_1M_2)_{12}=a_1c_2+c_1\cdot 0=a_1c_2,
(M_1M_2)_{21}=b_1a_2+0\cdot b_2=b_1a_2,
(M_1M_2)_{22}=b_1c_2+0\cdot 0=b_1c_2.
Portanto
M_1M_2=\begin{pmatrix}a_1a_2+c_1b_2 & a_1c_2\\[4pt] b_1a_2 & b_1c_2\end{pmatrix}.
Repare que a entrada inferior direita é \;b_1c_2\;. Para que M_1M_2 pertença a B é necessário que essa entrada seja 0. Ou seja, precisaríamos ter b_1c_2=0 para todo b_1,c_2\in\mathbb{R}, o que não é verdade em geral.]

Passo 6

Fornecemos um contraexemplo explícito para mostrar que B não é fechado sob multiplicação. Considere a matriz
M=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}.
Aqui a=0,b=1,c=1, logo M\in B. Multiplicando M por ela mesma:
M^2=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I_2.
A matriz identidade I_2 tem entrada inferior direita igual a 1, não 0; logo I_2\notin B. Assim M\in B e M\cdot M\notin B, o que prova que B não é fechado sob multiplicação.]

Passo 7

Conclusão: como B falha em ser fechado sob multiplicação, ele não satisfaz todas as condições para ser um subanel de A. (Observação adicional: disso também segue que B não contém o elemento unidade I_2 de A.)

Resposta

Não — B não é subanel de A.

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