Seja n um inteiro com n>1. Mostre que o conjunto n . \mathbb{Z} é subanel de \mathbb{Z} e não tem unidade.

Passo 1

O enunciado dá um inteiro n com n>1. Define-se o conjunto n\cdot\mathbb{Z} (lê-se "n vezes \mathbb{Z}") e pede-se duas coisas: mostrar que n\cdot\mathbb{Z} é subanel de \mathbb{Z} e mostrar que n\cdot\mathbb{Z} não tem unidade (ou seja, não possui elemento identidade multiplicativa). As informações relevantes que temos são apenas que n é inteiro e n>1.

Passo 2

Primeiro vou lembrar, com calma, as definições que vou usar (sem pressa — isso é importante na prova):
Definição de n\cdot\mathbb{Z}: \;n\cdot\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in\mathbb{Z}\}.\n
Definição prática de subanel de \mathbb{Z}: um subconjunto A\subseteq\mathbb{Z} é subanel se (i) A não é vazio; (ii) A é fechado sob subtração: para todo a,b\in A tem-se a-b\in A; (iii) A é fechado sob multiplicação: para todo a,b\in A tem-se ab\in A.
Observação didática: essa condição (fechamento por subtração e multiplicação) é equivalente a pedir que A contenha 0, seja fechado por soma e contenha inversos aditivos, e seja fechado por produto — é a forma mais prática de verificar subanéis em \mathbb{Z}.

Passo 3

Vou mostrar que n\cdot\mathbb{Z} satisfaz as condições do subanel.
(a) Não é vazio e contém 0: note que 0 = n\cdot 0, com 0\in\mathbb{Z}. Logo 0\in n\cdot\mathbb{Z}. Isto garante que o conjunto não é vazio e já nos dá o elemento neutro aditivo.
(b) Fechamento por subtração: pegue dois elementos arbitrários de n\cdot\mathbb{Z}, digamos a=nk_1 e b=nk_2 com k_1,k_2\in\mathbb{Z}. Então
a-b = nk_1 - nk_2 = n(k_1-k_2).
Como k_1-k_2\in\mathbb{Z}, concluímos que a-b\in n\cdot\mathbb{Z}. Isso mostra fechamento por subtração; como consequência, também há fechamento por soma e existência de inversos aditivos (pois -a = a-2a ou diretamente -a = n(-k_1)).
(c) Fechamento por multiplicação: usando os mesmos a=nk_1 e b=nk_2 temos
ab = (nk_1)(nk_2) = n^2 (k_1 k_2).
Agora observe que n^2(k_1k_2)=n\cdot\bigl(n(k_1k_2)\bigr). Como n(k_1k_2)\in\mathbb{Z}, então ab é um múltiplo de n, isto é, ab\in n\cdot\mathbb{Z}. Portanto n\cdot\mathbb{Z} é fechado sob multiplicação.

Passo 4

Com (a), (b) e (c) provados, n\cdot\mathbb{Z} satisfaz as condições para ser subanel de \mathbb{Z}. Conclusão parcial: n\cdot\mathbb{Z} é subanel de \mathbb{Z}.

Passo 5

Agora mostro que n\cdot\mathbb{Z} não tem unidade (multiplicativa). Primeiro explico o que é unidade: um elemento e de um anel A é unidade se para todo a\in A vale ea=a (e ae=a); em anéis comutativos (como \mathbb{Z}) basta verificar um lado.
Suponha, por contradição, que exista e\in n\cdot\mathbb{Z} que seja unidade em n\cdot\mathbb{Z}. Então podemos escrever e = nt para algum t\in\mathbb{Z}. Como e é identidade multiplicativa, deve valer em particular para o elemento a=n\in n\cdot\mathbb{Z} que
e\cdot n = n.
Substituindo e=nt obtemos
(nt)\cdot n = n.
Logo
n^2 t = n.

Passo 6

Da igualdade n^2 t = n podemos isolar:
n^2 t = n \quad\Longrightarrow\quad n(n t - 1)=0.
Nos inteiros isso implica que n t = 1 (ou, mais direto, dividimos ambos os lados por n, já que n\neq 0), ou seja, 1 é múltiplo de n. Mas n>1, então um número maior que 1 não pode dividir 1; na linguagem dos divisores, isso seria dizer que n divide 1, o que só é possível se n=\pm1. Como n>1, isso é impossível. Assim chegamos a uma contradição com a existência de tal t. Portanto não existe e\in n\cdot\mathbb{Z} que seja unidade.

Passo 7

Resumo final do raciocínio: mostramos que n\cdot\mathbb{Z} contém 0, é fechado por subtração e multiplicação, logo é subanel de \mathbb{Z}. Em seguida, assumimos a existência de identidade multiplicativa em n\cdot\mathbb{Z} e obtivemos a contradição n\mid 1 para n>1. Portanto n\cdot\mathbb{Z} não tem unidade.

Resposta

\;n\mathbb{Z} é subanel de \mathbb{Z}.\n
\;n\mathbb{Z} não tem unidade.

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