Seja
um inteiro com
. Mostre que o conjunto
é subanel de
e não tem unidade.
Passo 1
O enunciado dá um inteiro
com
. Define-se o conjunto
(lê-se "n vezes
") e pede-se duas coisas: mostrar que
é subanel de
e mostrar que
não tem unidade (ou seja, não possui elemento identidade multiplicativa). As informações relevantes que temos são apenas que
é inteiro e
.
Passo 2
Primeiro vou lembrar, com calma, as definições que vou usar (sem pressa — isso é importante na prova):
Definição de
:
.\n
Definição prática de subanel de : um subconjunto
é subanel se (i)
não é vazio; (ii)
é fechado sob subtração: para todo
tem-se
; (iii)
é fechado sob multiplicação: para todo
tem-se
.
Definição prática de subanel de
Observação didática: essa condição (fechamento por subtração e multiplicação) é equivalente a pedir que
contenha
, seja fechado por soma e contenha inversos aditivos, e seja fechado por produto — é a forma mais prática de verificar subanéis em
.
Passo 3
Vou mostrar que
satisfaz as condições do subanel.
(a) Não é vazio e contém
: note que
, com
. Logo
. Isto garante que o conjunto não é vazio e já nos dá o elemento neutro aditivo.
(b) Fechamento por subtração: pegue dois elementos arbitrários de
, digamos
e
com
. Então
Como
, concluímos que
. Isso mostra fechamento por subtração; como consequência, também há fechamento por soma e existência de inversos aditivos (pois
ou diretamente
).
(c) Fechamento por multiplicação: usando os mesmos e
temos
(c) Fechamento por multiplicação: usando os mesmos
Agora observe que
. Como
, então
é um múltiplo de
, isto é,
. Portanto
é fechado sob multiplicação.
Passo 4
Com (a), (b) e (c) provados,
satisfaz as condições para ser subanel de
. Conclusão parcial:
é subanel de
.
Passo 5
Agora mostro que
não tem unidade (multiplicativa). Primeiro explico o que é unidade: um elemento
de um anel
é unidade se para todo
vale
(e
); em anéis comutativos (como
) basta verificar um lado.
Suponha, por contradição, que exista
que seja unidade em
. Então podemos escrever
para algum
. Como
é identidade multiplicativa, deve valer em particular para o elemento
que
Substituindo
obtemos
Logo
Passo 6
Da igualdade
podemos isolar:
Nos inteiros isso implica que
(ou, mais direto, dividimos ambos os lados por
, já que
), ou seja,
é múltiplo de
. Mas
, então um número maior que
não pode dividir
; na linguagem dos divisores, isso seria dizer que
divide
, o que só é possível se
. Como
, isso é impossível. Assim chegamos a uma contradição com a existência de tal
. Portanto não existe
que seja unidade.
Passo 7
Resumo final do raciocínio: mostramos que
contém
, é fechado por subtração e multiplicação, logo é subanel de
. Em seguida, assumimos a existência de identidade multiplicativa em
e obtivemos a contradição
para
. Portanto
não tem unidade.